- แจ้งลบ
- บันทึกเก็บไว้ใน List
ครูพี่ตูน Annop หนึ่งในติวเตอร์ที่ออกข้อสอบให้ โครงการ PRETCAS'62 เพื่อเตรียมความพร้อมให้น้อง ๆ Dek62 Dek63 รวมถึง Dek64 วันนี้ครูพี่ตูนใจดี พร้อมตีแผ่ แฉข้อสอบ O-NET วิชาคณิตศาสตร์ ม.6 ปีล่าสุด
ลองลงสนามสอบก่อนสอบจริง
เปิดรับสมัครแล้ววันนี้ PRETCAS.COM
- 1. ม.6 ประจําปการศึกษา 2560 สอบวันที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. อาจารยรังสรรค ทองสุกนอก โรงเรียนนาคประสิทธิ์ มูลนิธิวัดบางชางเหนือ www.Facebook.com/GTRmath
- 2. หนา |1 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกตองที่สุด จํานวน 28 ขอ (ขอ 1 – 28) ขอละ 2.5 คะแนน รวม 70 คะแนน 1. 4 1 5 5 5 5 มีคาเทากับขอใด 1. 5 2. 2 5 3. 3 5 4. 2 3 5 5. 8 5 25 5 2. 2 1 1 6 427 9 มีคาเทากับขอใด 1. 6 2. 6 3 3. 9 4. 9 3 5. 12 3. ถา 3 x 11 64 8 20 125 แลวคาของ x อยูในชวงใด 1. [0, 2) 2. [2, 4) 3. [4, 11 2 ) 4. 11 [ ,7) 2 5. [7, 8)
- 3. หนา |2 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 4. กําหนดให 12 a 6 9 14 b 2 3 15 10 c 2 3 ขอใดถูกตอง 1. a < b < c 2. a < c < b 3. b < c < a 4. c < a < b 5. c < b < a 5. จํานวนเต็มบวก x ที่สอดคลองกับอสมการ 5 2x 1 x 2 11 12 4 3 12 มีจํานวนทั้งหมดเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 3 จํานวน 2. 4 จํานวน 3. 5 จํานวน 4. 6 จํานวน 5. 7 จํานวน 6. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม C เปนมุมมฉาก มี a และ b เปนความยาวของดานตรงขามมุม A และ B ตามลําดับ ถา A 2B แลวขอใดถูกตอง 1. b a 2 2. 3 a b 3 3. 3 a b 2 4. a 3b 5. a = 2b
- 4. หนา |3 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 7. ปายโฆษณารูปสี่เหลี่ยมผืนผาอันหนึ่งติดอยูดานขางตึกสูง โดยที่ขอบลางของปายขนานกับพื้น นักเรียนคนหนึ่งยืนอยูหางจากตึกเปนระยะทาง 60 เมตร ถามุมเงยของสายตาของนักเรียนที่มองจุด กึ่งกลางของเสนขอบลางของปายมีขนาด 30 องศา และมุมเงยของสายตาของนักเรียนที่มองจุดกึ่งกลาง ของเสนขอบบนของปายมีขนาด 45 องศา แลวระยะหางจากจุดกึ่งกลางของเสนขอบบนถึงจุดกึ่งของเสน ขอบลางของปายโฆษณาเทากับขอใด 1. 20 เมตร 2. 30 เมตร 3. 10 3 เมตร 4. 20 3 เมตร 5. 20(3 3) เมตร 8. รานขายเสื้อแหงหนึ่ง ขายเสื้อราคาตัวละ 200 บาท หากซื้อเสื้อตั้งแต 30 ตัวขึ้นไป จะไดสวนลด 20% ทุกตัว ถาเอมซื้อเสื้อ 25 ตัว เปนเงินทั้งหมด a บาท และ บีมซื้อเสื้อ 30 ตัว เปนเงินทั้งหมด b บาท แลวขอใดถูกตอง 1. a = b – 200 2. a = b + 200 3. a = b 4. a = b – 1,000 5. a = b + 1,000 9. กําหนดให f(x) = x 5 5 ขอใดไมถูกตอง 1. f(–6) = 6 2. f(–5) = 5 3. f(0) = 0 4. f(5) = –5 5. f(6) = –6
- 5. หนา |4 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 10. กําหนดกราฟ สมการในขอใดที่เปนไปไดที่จะมีกราฟดังรูป 1. x y 3 1 2. x y 3 1 3. x y 3 4. x y 3 1 5. x y 3 1 11. กําหนดให 2 r (2a, a ) a เปนจํานวนจริง คูอันดับในขอใด เปนสมาชิกของ r 1. (–2, –1) 2. (–1, 1) 3. (1, 1) 4. (2, 2) 5. (4, 4) 12. ลําดับในขอใด เปนลําดับเลขคณิต 1. 1 , 1.1 , 1.11 , 1.111 , 1.1111 2. 1 , –1 , 1 , –1 , 1 3. –5 , 7 , –9 , 11 , –13 4. –5 , 19 4 , 18 4 , 17 4 , –4 5. –5 + 10 , –5 + 2 10 , –5 + 3 10 , –5 + 4 10 , –5 + 5 10 X Y 0 1 y f(x)
- 6. หนา |5 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 13. กําหนดให 1 2 3a , a , a , ... เปนลําดับเรขาคณิต ซึ่งมีพจนแตละพจนเปนจํานวนจริงบวก ถา 5 1a 4a แลวอัตราสวนรวมของลําดับนี้เทากับขอใด 1. 1 4 2. 1 2 3. 1 2 4. 2 5. 2 14. กําหนดให A เปนเซตของจํานวนเต็ม B เปนเซตของจํานวนจริงที่มากกวา 3 C เปนเซตคําตอบของสมการ f(x) = 1 โดยที่ f เปนฟงกชัน 4 และ 5 เปนสมาชิกของเซต ดังแผนภาพ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. คําตอบทุกตัวของสมการ f(x) = 1 เปนจํานวนเต็ม ข. คําตอบทุกตัวของสมการ f(x) = 1 มีคามากกวา 3 ค. 4 เปนคําตอบของสมการ f(x) = 1 ง. 5 ไมเปนคําตอบของสมการ f(x) = 1 จํานวนขอความที่ถูกตอง เทากับขอใด 1. 0 ขอความ(ไมมีขอความใดถูก) 2. 1 ขอความ 3. 2 ขอความ 4. 3 ขอความ 5. 4 ขอความ A BC 4 5
- 7. หนา |6 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 15. ถากราฟของ 1y f(x) ตัดกราฟของ 2y g(x) ที่จุด (1, 3) และ (4, 5) ดังรูป แลวเซตคําตอบของอสมการ f(x) g(x) คือเซตในขอใด 1. (1, 4) 2. (3, 5) 3. (–, 4) 4. (–, 1) (4, ) 5. (–, 3) (5, ) 16. กําหนดให c > 0 ถาเซตคําตอบของอสมการ 2 x 2cx 6c 0 คือชวงเปด (–3c , c) แลว c มีคาเทากับขอใด 1. 1 4 2. 1 2 3. 1 4. 3 2 5. 2 17. เซตของจํานวนจริง k ที่ทําใหสมการ 2 x kx 5 0 ไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง คือเซตในขอใด 1. ( , 20) 2. ( , 20) 3. ( 20, 20) 4. [0, ) 5. ( ,0] X Y 0 (1,3) 1y f(x) 2y g(x) (4,5)
- 8. หนา |7 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 18. สระวายน้ํา “รักสุขภาพ” คิดคาบริการ 2 แบบ คือ แบบที่ 1 บุคคลที่ไมเปนสมาชิก คิดคาใชสระวายน้ํา 40 บาทตอครั้ง แบบที่ 2 บคคลที่เปนสมาชิก คิดคาสมาชิกรายป 2,000 บาท และคาใชสระวายน้ํา 15 บาทตอครั้ง ภายใน 1 ป จํานวนครั้งที่นอยที่สุดในการใชสระวายน้ําใน 1 ป ที่ทําใหจํานวนเงินที่ตองจายทั้งหมดของบุคคล ที่เปนสมาชิก นอยกวาของบุคคลที่ไมเปนสมาชิก เทากับขอใด 1. 79 ครั้ง 2. 81 ครั้ง 3. 101 ครั้ง 4. 133 ครั้ง 5. 134 ครั้ง 19. พี่มีนยืมเงินจากนองมิว 630 บาท และตกลงกันวาจะจายเงินคืนใหนองทุกวัน โดยวันแรกจะคืนเงินให 10 บาท วันที่สองจะคืนเงินให 12 บาท และในวันตอๆ ไปจะคืนเงินเพิ่มขึ้นจากวันกอนหนาวันละ 2 บาท ทุกวัน จํานวนวันที่พี่มีนจะจายเงินคืนใหนองมิวไดครบพอดีเทากับขอใด 1. 21 วัน 2. 22 วัน 3. 23 วัน 4. 24 วัน 5. 25 วัน 20. ถา 1 2 3 12a , a , a , ... , a เปนลําดับเรขาคณิต ซึ่งมีอัตราสวนรวมเทากับ 2 และ 1 2 3 12a a a ... a 63 แลว 1 2 3 10a a a ... a เทากับขอใด 1. 29 2. 30 3. 31 4. 32 5. 33
- 9. หนา |8 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 21. ขอมูลชุดใด มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่มีคามากที่สุด 1. 500 , 500 , 500 , 500 , 500 , 500 2. 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 3. 100 , 100 , 100 , 101 , 101 , 101 4. 44 , 44 , 45 , 45 , 46 , 46 5. 78 , 78 , 78 , 78 , 80 , 80 22. ตารางแจกแจงความถี่แสดงอายุของเด็กที่เรียนวายน้ําของโรงเรียนแหงหนึ่งเปนดังนี้ อายุของเด็กที่เรียนวายน้ํา (ป) ความถี่ (คน) 6 5 7 10 8 15 9 10 คาเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเด็กกลุมนี้เทากับขอใด 1. 7 ป 6 เดือน 2. 7 ป 7 เดือน 3. 7 ป 8 เดือน 4. 7 ป 9 เดือน 5. 8 ป 23. ผองศรีทําการเก็บขอมูลชุดหนึ่ง โดยนํามาเรียงลําดับจากนอยไปมากไดเปน 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 ในภายหลัง ผองศรีไดรับขอมูลมาเพิ่มอีกหนึ่งคา หลังจากผองศรีเพิ่มขอมูลใหมเขาไปในขอมูลชุดเดิมแลว ขอความใดเปนไปไมได 1. คาเฉลี่ยเลขคณิตเทาเดิม 2. มัธยฐานเทาเดิม 3. มัธยฐานเพิ่มขึ้น 20 4. พิสัยเทาเดิม 5. พิสัยเพิ่มขึ้น 20
- 10. หนา |9 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 24. ขอมูลแสดงภูมิลําเนาของพนักงานในบริษัทแหงหนึ่ง เปนดังนี้ ภูมิลําเนา จํานวนพนักงาน (คน) ภาคเหนือ 90 ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ 30 ภาคกลาง 50 ภาคตะวันออก 20 ภาคใต 10 คากลางในขอใดใชเปนตัวแทนของภูมิลําเนาของพนักงานในบริษัทแหงนี้และคากลางนั้นคืออะไร 1. ฐานนิยม คือ ภาคเหนือ 2. ฐานนิยม คือ ภาคใต 3. ฐานนิยม คือ 90 4. มัธยฐาน คือ 30 5. มัธยฐาน คือ ภาคกลาง 25. โรงเรียนแหงหนึ่งมีชมรมสําหรับนักเรียน 3 ชมรม คือ ชมรมกีฬา ชมรมศิปวัฒนธรรม และชมรมวิทยาศาสตร นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายทุกคนตองสมัครเขาชมรมคนละหนึ่งชมรม ตารางแสดงจํานวนนักเรียนในแตละชมรม เปนดังนี้ นักเรียนชั้น จํานวนนักเรียนในแตละชมรม (คน) กีฬา ศิลปวัฒนาธรรม วิทยาศาสตร ม.4 85 95 120 ม.5 125 75 100 ม.6 95 100 105 รวม 305 270 325 ถาสุมนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายมา 1 คน ความนาจะเปนที่จะไดนักเรียนที่อยูชมรมกีฬาและไมใชนักเรียนชั้น ม.4 เทากับขอใด 1. 1 3 2. 2 3 3. 11 45 4. 17 180 5. 61 180
- 11. หนา |10 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 26. กําหนดให S 9 , 8 , 7 , ... , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ถา a เปนสมาชิกหนึ่งตัวของ S ที่ไดจากการสุม ความนาจะเปนที่ a a 0 เทากับขอใด 1. 2 3 2. 3 5 3. 2 5 4. 1 3 5. 1 5 27. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 5 ใบ ที่มีหมายเลข 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ใบละหนึ่งหมายเลข ถาสุมหยิบสลากในกลองนี้ขึ้นมาสองใบ โดยหยิบทีละใบแบบไมใสคืน แลวนําหมายเลขที่ไดมาประกอบ เปนจํานวนสองหลัก โดยหมายเลขบนสลากใบแรกเปนเลขโดดในหลักสิบ และหมายเลขบนสลากใบที่สอง เปนเลขโดดในหลักหนวย ความนาจะเปนที่จะไดจํานวนสองหลักที่นอยกวา 60 เทากับขอใด 1. 3 10 2. 2 5 3. 1 2 4. 3 5 5. 3 4 28. ตารางแสดงน้ําหนัก (กรัม) ตอผล ของมะนาวจากสวนแหงหนึ่งเปนดังนี้ น้ําหนัก (กรัม) ตอผล ความถี่สัมพัทธ ความถี่สะสมสัมพัทธ 20 – 29 0.25 30 – 39 0.40 40 – 49 0.70 50 – 59 60 – 69 0.25 ถาสุมมะนาวจากสวนแหงนี้มา 1 ผล ความนาจะเปนที่จะไดมะนาวที่มีน้ําหนักอยูในชวง 40 – 59 กรัม เทากับขอใด 1. 0.25 2. 0.30 3. 0.35 4. 0.40 5. 0.45
- 12. หนา |11 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ตอนที่ 2 แบบระบายตัวเลขที่เปนคําตอบ จํานวน 12 ขอ (ขอ 29 – 40) ขอละ 2.5 คะแนน รวม 30 คะแนน 29. ถา | a 5 | | b 7 | 0 แลว a + b เทากับเทาใด 30. เมื่อวินัยยืนอยูที่โคนเสา A เขามองขึ้นไปบนยอดเสา B เปนมุมเงยขนาด 30 องศา และเมื่อวินัยยืนอยูที่โคนเสา B เขามองขึ้นไปยอดเสา A เปนมุมเงยขนาด 60 องศา ถาเสา A สูง 45 เมตร แลวเสา B สูงกี่เมตร (กําหนดใหโคนเสา A และ B อยูบนระนาบเดียวกัน และไมคิดความสูงของวินัย) 31. กําหนดให A {1 , 2 , a, b , c} {1 , b , c} B {2 , 3 , c} {2 , b , d} C {1, 2 , 3 , b} {3 , a , b} จํานวนสมาชิกของเซต B (A C) เทากับขอใด 32. ให เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ตารางหนวย พิจารณาการนํา มาวางตอกันแลวแรเงาบางรูป ตามแบบรูปตอไปนี้ ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2 ขั้นที่ 3 ในขั้นที่ 99 มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ตารางหนวย ซึ่งไมไดแรเงา อยูกี่รูป
- 13. หนา |12 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 33. ถา 2 , 9, 16 , ... เปนลําดับเลขคณิต แลวพจนที่เทาใดของลําดับนี้ที่มีคาอยูในชวง [180, 185] 34. จากการสอบถาม เรื่องความชอบไอศกรีมรสวนิลาและรสสม ของเด็กอนุบาลจํานวน 40 คน พบวา มี 25 คน ชอบรสวนิลา 10 คน ชอบรสสม 8 คน ไมชอบทั้งรสวนิลาและรสสม มีเด็กอนุบาลที่ชอบทั้งรสวนิลาและรสสมกี่คน 35 ถากราฟของ 2 f(x) ax bx c ตัดแกน Y ที่จุด (0, 1) มีจุดวกกลับที่ (3, 0) ดังรูป แลว f(–6) เทากับเทาใด 36. นักเรียนหองหนึ่งไดตกลงกันวา แตละคนจะทําการดอวยพรวันปใหมและสงใหเพื่อนๆ ในหองทุกคน ถานักเรียนทุกคนในหองนี้ทําตามขอตกลง และมีบัตรอวยพรที่สงใหกันทั้งหมด 1,722 ใบ แลวหองนี้มีนักเรียนกี่คน 0 X Y 1 1 2 22 1 3 3 4 5 6 7 8 1
- 14. หนา |13 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 37. ผลบวกของคําตอบของสมการ 2 |x 4| 33 27 เทากับเทาใด 38. ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวยจํานวนเต็มบวก 10 จํานวน ดังนี้ 5 , 6 , 9 , 6 , 10 , 5 , 9 , 8 , x , y ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้คือ 7.2 แลวมัธยฐานเทากับเทาใด 39. คุณครูกําหนดวาจะใหระดับคะแนน 4 แกนักเรียนที่สอบไดสูงกวาเปอรเซ็นไทลที่ 85 ผลการสอบของนักเรียนจํานวน 49 คน ปรากฏดังแผนภาพตน – ใบ 3 4 5 5 8 4 0 5 6 7 8 8 5 0 1 2 3 4 5 6 6 7 7 6 2 2 2 5 5 5 8 8 9 9 7 0 5 5 5 6 8 8 9 8 0 2 3 3 4 5 7 9 0 3 4 5 จากผลการสอบนี้ นักเรียนในกลุมที่ไดระดับคะแนน 4 ไดคะแนนต่ําสุดกี่คะแนน 40. วันทามีธนบัตรหนึ่งพันบาท 3 ฉบับ และธนบัตรหารอยบาท 2 ฉบับ ถาวันทาสุมหยิบธนบัตรขึ้นมา 2 ฉบับพรอมกัน แลวความนาจะเปนที่ธนบัตร 2 ฉบับนี้ จะมีมูลคารวมกันมากกวา 1,200 บาท เทากับเทาใด
- 15. หนา |14 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. เฉลย ------------- ตอนที่ 1 1. 1 2. 5 3. 1 4. 4 5. 2 6. 4 7. 5 8. 2 9. 5 10. 2 11. 5 12. 4 13. 4 14. 5 15. 1 16. 5 17. 3 18. 2 19. 1 20. 3 21. 2 22. 4 23. 3 24. 1 25. 3 26. 1 27. 4 28. 3 ตอนที่ 2 29. 2 30. 15 31. 3 32. 9900 33. 27 34. 3 35. 9 36. 42 37. 8 38. 7 39. 84 40. 0.9 ------------- ตอนที่ 1 ขอ 1. ตอบ 1. แนวคิด โดยที่ 4 5 5 ทําให 4 5 0 5 ดังนั้น 4 4 5 5 5 5 จะไดคาของ 4 1 5 5 5 5 4 1 5 5 5 5 4 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 5 -------------
- 16. หนา |15 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 2. ตอบ 5. แนวคิด 2 1 1 6 427 9 2 1 1 3 26 4(3 ) (3 ) 2 3 2 6 43 3 2 1 1 2 23 3 2 1 22 3 2 1 2 22 3 2 2 22 3 2 1 2 3 4 3 12 ------------- ขอ 3. ตอบ 1. แนวคิด จากสมการ 3 x 11 64 8 20 125 3 3 3 x 11 4 8 20 5 x 11 4 8 20 5 x 4 11 8 5 20 x 16 11 8 20 20 x 5 8 20 x 1 8 4
- 17. หนา |16 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; x 1 8 16 1 x 8 16 x = 1 2 จะพบวา 1 x [0,2) 2 ------------- ขอ 4. ตอบ 4. แนวคิด โดยที่ 12 12 12 12 3 2 9 10 9 10 a 6 (2 3) 2 3 2 3 (2 3 ) 72 (2 3 ) 9 14 4 9 10 9 10 b 2 3 3 (2 3 ) 81 (2 3 ) 15 10 6 9 10 9 10 c 2 3 2 (2 3 ) 64 (2 3 ) เนื่องจาก 64 < 72 < 81 จะได 9 10 9 10 9 10 64 (2 3 ) 72 (2 3 ) 81 (2 3 ) นั่นคือ c < a < b ------------- ขอ 5. ตอบ 2. แนวคิด จากอสมการ 5 2x 1 x 2 11 12 4 3 12 นํา 12 คูณตลอดอสมการ ; 5 2x 1 x 2 11 12 12 12 12 12 4 3 12 5 3(2x 1) 4(x 2) 11 5 6x 3 4x 8 11 5 2x 5 11 นํา 5 บวกตลอดอสมการ ; 10 2x 16 นํา 2 หารตลอดอสมการ ; 5 x 8 ดังนั้นจํานวนเต็มบวก x ที่สอดคลองกับอสมการไดแก 5, 6, 7, 8 มีทั้งหมด 4 จํานวน -------------
- 18. หนา |17 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 6. ตอบ 4. แนวคิด กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม C เปนมุมมฉาก มี a และ b เปนความยาวของดานตรงขามมุม A และ B ตามลําดับ จะไดรูป โดยที่ ˆ ˆ ˆA B C 180 โจทยกําหนด ˆ ˆA 2B และ ˆC 90 ; ˆ ˆ2B B 90 180 ˆ3B 90 ˆB 30 จากรูปจะได b tan B a แทน ˆB 30 ; b tan 30 a 1 b a3 ดังนั้น a 3b ------------- b aC A B
- 19. หนา |18 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 7. ตอบ 5. แนวคิด กําหนด ปายโฆษณารูปสี่เหลี่ยมผืนผาอันหนึ่งติดอยูดานขางตึกสูง โดยที่ขอบลางของปายขนานกับพื้น นักเรียนคนหนึ่งยืนอยูหางจากตึกเปนระยะทาง 60 เมตร มุมเงยของสายตาของนักเรียนที่มองจุดกึ่งกลางของเสนขอบลางของปายมีขนาด 30 องศา และ มุมเงยของสายตาของนักเรียนที่มองจุดกึ่งกลางของเสนขอบบนของปายมีขนาด 45 องศา ดังรูป จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จะได y tan 30 60 1 y 603 60 y 3 60 3 3 20 3 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD จะได x y tan 45 60 x y 1 60 แทน y 20 3 ; x 20 3 1 60 60 x 20 3 x 60 20 2 20(3 3) ดังนั้น ระยะหางจากจุดกึ่งกลางของเสนขอบบนถึงจุดกึ่งของเสนขอบลางของปายโฆษณา เทากับ 20(3 3) เมตร ------------- ปายโฆษณา 30 45 60 x y A B C D
- 20. หนา |19 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 8. ตอบ 2. แนวคิด กําหนดรานขายเสื้อแหงหนึ่ง ขายเสื้อราคาตัวละ 200 บาท หากซื้อเสื้อตั้งแต 30 ตัวขึ้นไป จะไดสวนลด 20% ทุกตัว แสดงวาถาซื้อเสื้อตั้งแต 30 ตัวขึ้นไป จะขายเสื้อราคาตัวละ 80% ของ 200 บาท เทากับ 80 200 160 100 บาท โจทยกําหนด เอมซื้อเสื้อ 25 ตัว เปนเงินทั้งหมด a บาท จะได a 25 200 5000 บาท โจทยกําหนด บีมซื้อเสื้อ 30 ตัว เปนเงินทั้งหมด b บาท จะได b = 30 160 4800 บาท จะพบวา a = b + 200 ------------- ขอ 9. ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให f(x) = x 5 5 จะได้ f(–6) = 6 5 5 11 5 6 ตัวเลือกที 1 ถูกต้อง f( 5) 5 5 5 10 5 5 ตัวเลือกที 2 ถูกต้อง f(0) 0 5 5 5 5 0 ตัวเลือกที 3 ถูกต้อง f(5) 5 5 5 0 5 5 ตัวเลือกที 4 ถูกต้อง f(6) 6 5 5 1 5 4 ตัวเลือกที 5 ไม่ถูกต้อง -------------
- 21. หนา |20 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 10. ตอบ 2. แนวคิด กําหนดกราฟ จากรูปจะไดวาเปนกราฟของฟงกชันเอกซโพแนนเชียล x y a k เมื่อ 0 < a < 1 จากตัวเลือกจะไดวา 1 a 3 และไดสมการคือ x1 y ( ) k 3 x y 3 k ...(*) จากกราฟผานจุด (0, 0) แทน x = 0 และ y = 0 ในสมการ (*) จะได 0 0 3 k 0 = 1 + k k = – 1 แทน k = – 1 ใน (*) จะได x y 3 1 ------------- ขอ 11. ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให 2 r (2a, a ) a เปนจํานวนจริง พิจารณาตัวเลือก ดังนี้ 1. ให 2a = –2 จะได a = –1 2 2 a ( 1) 1 1 ดังนั้น (–2, –1) ไมเปนสมาชิกของ r X Y 0 1 y f(x)
- 22. หนา |21 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 2. ให 2a = –1 จะได a = 1 2 2 21 1 a ( ) 1 2 4 ดังนั้น (–1, 1) ไมเปนสมาชิกของ r 3. ให 2a = 1 จะได a = 1 2 2 21 1 a ( ) 1 2 4 ดังนั้น (1, 1) ไมเปนสมาชิกของ r 4. ให 2a = 2 จะได a = 1 2 2 a 1 1 2 ดังนั้น (2, 2) ไมเปนสมาชิกของ r 5. ให 2a = 4 จะได a = 2 2 2 a 2 4 ดังนั้น (4, 4) เปนสมาชิกของ r ------------- ขอ 12. ตอบ 4. แนวคิด โดยที่ลําดับเลขคณิตตองมีผลตางรวม นั่นคือ 2 1 3 2 4 3a a a a a a .... พิจารณาลําดับแตละขอจะพบวา 1. เพราะวา 1.1 – 1 = 0.1 แต 1.11 – 1.1 = 0.01 จะพบวาลําดับไมมีผลตางรวม ดังนั้นลําดับ 1 , 1.1 , 1.11 , 1.111 , 1.1111 ไมเปนลําดับเลขคณิต
- 23. หนา |22 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 2. เพราะวา –1 – 1 = –2 แต 1 – (–1) = 2 จะพบวาลําดับไมมีผลตางรวม ดังนั้นลําดับ 1 , –1 , 1 , –1 , 1 ไมเปนลําดับเลขคณิต 3. เพราะวา 7 – (–5) = 12 แต –9 – 7 = –16 จะพบวาลําดับไมมีผลตางรวม ดังนั้นลําดับ –5 , 7 , –9 , 11 , –13 ไมเปนลําดับเลขคณิต 4. เพราะวา 19 ( 5) 4 18 19 ( ) 4 4 17 18 ( ) 4 4 17 1 4 ( ) 4 4 จะพบวาลําดับมีผลตางรวม ดังนั้นลําดับ –5 , 19 4 , 18 4 , 17 4 , –4 เปนลําดับเลขคณิต 5. เพราะวา 2 ( 5 10 ) ( 5 10) 90 แต 3 2 ( 5 10 ) ( 5 10 ) 900 จะพบวาลําดับไมมีผลตางรวม ดังนั้น –5 + 10, –5 + 2 10 , –5 + 3 10 , –5 + 4 10 , –5 + 5 10 ไมเปนลําดับเลขคณิต จากการพิจารณาจะไดวา ลําดับ –5 , 19 4 , 18 4 , 17 4 , –4 เปนลําดับเลขคณิต ------------- ขอ 13. ตอบ 4. แนวคิด กําหนด 1 2 3a , a , a , ... เปนลําดับเรขาคณิต ซึ่งมีพจนแตละพจนเปนจํานวนจริงบวก สมมติให r แทนอัตราสวนรวมของลําดับนี้ จะไดพจนทั่วไปของลําดับคือ n 1 n 1a a r โจทยกําหนด 5 1a 4a จะได 4 1 1a r 4a นํา 1a หารตลอด ; 4 r 4 2 r 2 r 2 โดยที่แตละพจนเปนจํานวนจริงบวกแสดงวา r = 2 -------------
- 24. หนา |23 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 14. ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให A เปนเซตของจํานวนเต็ม B เปนเซตของจํานวนจริงที่มากกวา 3 C เปนเซตคําตอบของสมการ f(x) = 1 โดยที่ f เปนฟงกชัน 4 และ 5 เปนสมาชิกของเซต ดังแผนภาพ พิจารณาขอความ ดังนี้ ก. จากแผนภาพจะพบวา C A แสดงวาเซตคําตอบของสมการ f(x) = 1 เปนสับเซตของเซตจํานวนเต็ม นั่นคือคําตอบทุกตัวของสมการ f(x) = 1 เปนจํานวนเต็ม ดังนั้น ขอความ ก. ถูก ข. จากแผนภาพจะพบวา C B แสดงวาเซตคําตอบของสมการ f(x) = 1 เปนสับเซตของเซตจํานวนจริงที่มากกวา 3 นั่นคือคําตอบทุกตัวของสมการ f(x) = 1 เปนจํานวนจริงที่มากกวา 3 ดังนั้น ขอความ ข. ถูก ค. จากแผนภาพ 4 C แสดงวา 4 เปนคําตอบของสมการ f(x) = 1 ดังนั้น ขอความ ค. ถูก ง. จากแผนภาพ 5 C แสดงวา 5 ไมเปนคําตอบของสมการ f(x) = 1 ดังนั้นขอความ ง. ถูก จากการพิจารณาทั้ง 4 ขอความ จะไดวาจํานวนขอความที่ถูกตอง 4 ขอความ ------------- A BC 4 5
- 25. หนา |24 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 15. ตอบ 1. แนวคิด ถากราฟของ 1y f(x) ตัดกราฟของ 2y g(x) ที่จุด (1, 3) และ (4, 5) ดังรูป จากกราฟจะพบวา กราฟของ 1y f(x) อยูใตกราฟของ 2y g(x) เมื่อ 1 < x < 4 แสดงวาเซตคําตอบของอสมการ f(x) g(x) คือชวง (1, 4) ------------- ขอ 16. ตอบ 5. แนวคิด โจทยกําหนดเซตคําตอบของอสมการ 2 x 2cx 6c 0 คือชวงเปด (–3c , c) เมื่อ c > 0 นั่นคือสําหรับ –3c < x < c เปนคําตอบของอสมการ 2 x 2cx 6c 0 แตเนื่องจากสําหรับ –3c < x < c จะไดวา (x + 3c)(x – c) < 0 แสดงวาพหุนาม 2 x 2cx 6c และพหุนาม (x 3c)(x c) เป็นพหุนามทีเท่ากัน นั่นคือ 2 x 2cx 6c (x 3c)(x c) 2 2 2 x 2cx 6c x 2cx 3c โดยการเทากับของพหุนามจะไดวา –6c = – 2 3c นํา c หารตลอด ; –6 = –3c ดังนั้น c = 2 ------------- X Y 0 (1,3) 1y f(x) 2y g(x) (4,5) 1 4
- 26. หนา |25 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 17. ตอบ 3. แนวคิด เนื่องสมการดีกรีสอง 2 ax bx c 0 ไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง ก็ตอเมื่อ 2 b 4ac 0 โจทยกําหนด สมการ 2 x kx 5 0 ไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง แสดงวา 2 ( k) 4(1)(5) 0 2 k 20 0 2 2 k ( 20) 0 (k 20)(k 20) 0 จะได 20 k 20 ดังนั้นเซตของจํานวนจริง k ที่ทําใหสมการไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริงคือ ( 20, 20) ------------- ขอ 18. ตอบ 2. แนวคิด สระวายน้ํา “รักสุขภาพ” คิดคาบริการ 2 แบบ คือ แบบที่ 1 บุคคลที่ไมเปนสมาชิก คิดคาใชสระวายน้ํา 40 บาทตอครั้ง แบบที่ 2 บคคลที่เปนสมาชิก คิดคาสมาชิกรายป 2,000 บาท และคาใชสระวายน้ํา 15 บาทตอครั้ง ภายใน 1 ป ให x แทนจํานวนครั้งในการใชสระวายน้ําใน 1 ป ถาบุคคลที่ไมเปนสมาชิก จะตองจายเงินทั้งหมด 40x บาท ถาบุคคลที่เปนสมาชิก จะตองจายเงินทั้งหมด 2,000 + 15x บาท โจทยตองการใหจํานวนเงินที่ตองจายทั้งหมดของบุคคลที่เปนสมาชิกนอยกวาของบุคคลที่ไมเปนสมาชิก จะไดอสมการคือ 2000 + 15x < 40x 2000 < 25x นํา 25 หารตลอด ; 80 < x ดังนั้นจํานวนครั้งที่นอยที่สุดที่ทําใหจํานวนเงินที่ตองจายทั้งหมดของบุคคลที่เปนสมาชิกนอยกวาของบุคคล ที่ไมเปนสมาชิก คือ 81 ครั้ง ------------- 20 20
- 27. หนา |26 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 19. ตอบ 1. แนวคิด พี่มีนยืมเงินจากนองมิว 630 บาท และตกลงกันวาจะจายเงินคืนใหนองทุกวัน โดยวันแรกจะคืนเงินให 10 บาท วันที่สองจะคืนเงินให 12 บาท และในวันตอๆ ไปจะคืนเงินเพิ่มขึ้นจากวันกอนหนาวันละ 2 บาท ทุกวัน แสดงวาในแตละวัน การคืนเงินจะเพิ่มขึ้นเปนลําดับเลขคณิต ดังนี้ 10 , 12 , 14 , 16 , ... โดยพจนแรกของลําดับ 1(a )คือ 10 และผลตางรวม(d) เทากับ 2 จะไดผลบวก n พจนแรกของอนุกรม nS 1 n 2a (n 1)d 2 แทน 1a 10 , d 2 ; nS n 2 10 (n 1)2 2 n 20 2n 2 2 n 2n 18 2 n(n 9) 2 n 9n โจทยตองการคืนเงินใหครบจํานวน 630 บาท แสดงวาตองการหา n ที่ทําให nS 630 จะได 2 n 9n 630 2 n 9n 630 0 (n + 30)(n – 21) = 0 โดยที่ n + 30 > 0 แสดงวา n – 21 = 0 ดังนั้น n = 21 แสดงวาตองมีนจะจายเงินคืนใหนองมิวจํานวน 21 วัน จึงจะครบจํานวนที่ยืมพอดี -------------
- 28. หนา |27 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 20. ตอบ 3. แนวคิด โจทยกําหนด 1 2 3 12a , a , a , ... , a เปนลําดับเรขาคณิต ซึ่งมีอัตราสวนรวมเทากับ 2 โดยสูตรผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต n 1 n a (1 r ) S 1 r โจทยกําหนด 1 2 3 12a a a ... a 63 จะได 12S 63 12 1a (1 r ) 63 1 r แทน r 2 ; 12 1a (1 ( 2) ) 63 1 2 6 1a (1 (2 )) 63 1 2 1a ( 63) 63 1 2 1a 1 1 2 1a 2 1 ดังนั้น 1 2 3 10a a a ... a 10S 10 1a (1 r ) 1 r แทน 1a 2 1, r 2 ; 10 ( 2 1)(1 ( 2) ) 1 2 5 (1 2)(1 2 ) 1 2 (1 32) 31 -------------
- 29. หนา |28 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 21. ตอบ 2. แนวคิด พิจารณาตัวเลือกที่มีขอมูลแตละคามีความแตกตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนั้นมาก จะทําใหมี สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมาก พิจารณาตัวเลือก 1. จากขอมูล 500 , 500 , 500 , 500 , 500 , 500 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 500 จะพบวาขอมูลแตกตางจากคาเฉลี่ยเทากับ 0 ทั้งหมด 2. จากขอมูล 2, 4, 6, 8, 10, 12 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 2 4 6 8 10 12 7 6 จะพบวาขอมูลแตกตางจากคาเฉลี่ยเทากับ 5, 3, 1, 1, 3, 5 ตามลําดับ 3. จากขอมูล 100 , 100 , 100 , 101 , 101 , 101 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 100 + 100 + 100 + 101 + 101 , 1 1 1 5 6 0 00. จะพบวาขอมูลแตกตางจากคาเฉลี่ยเทากับ 0.5 ทั้งหมด 4. จากขอมูล 44 , 44 , 45 , 45 , 46 , 46 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 44 + 44 + 45 + 45 + 46 + 46 45 6 จะพบวาขอมูลแตกตางจากคาเฉลี่ยเทากับ 1, 1, 0, 0, 1, 1 ตามลําดับ 5. จากขอมูล 78 , 78 , 78 , 78 , 80 , 80 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 78 + 78 + 78 + 78 + 80 + 80 78.7 6 จะพบวาขอมูลแตกตางจากคาเฉลี่ยประมาณ 0.7, 0.7, 0.7, 0.7, 1.3, 1.3 ตามลําดับ จะพบวาขอมูลในเลือกที่ 2 คือขอมูล 2, 4, 6, 8, 10, 12 มีคาแตกตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิตมากที่สุด จึงทําใหขอมูลดังกลาวมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากที่สุด
- 30. หนา |29 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. หมายเหตุ 1. อาจจะพิจารณาไดจากความแตกตางกันของขอมูลในชุดนั้น ซึ่งจะพบวาตัวเลือกที่ 2 ที่มีขอมูล 2, 4, 6, 8, 10, 12 เปนขอมูลที่มีแตละคาแตกตางกันเยอะที่สุด ดังนั้นทําใหขอมูลดังกลาวมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากที่สุด 2. คาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชสูตร N 2 i i 1 (x ) N จากตัวเลือกที่ 2 มีขอมูล 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 จะได 2 4 6 8 10 12 7 6 2 2 2 2 2 2 (2 7) (4 7) (6 7) (8 7) (10 7) (12 7) 6 = 35 3 ------------- ขอ 22. ตอบ 4. แนวคิด ตารางแจกแจงความถี่แสดงอายุของเด็กที่เรียนวายน้ําของโรงเรียนแหงหนึ่งเปนดังนี้ อายุของเด็กที่เรียนวายน้ํา (ป) ความถี่ (คน) 6 5 7 10 8 15 9 10 จากสูตรคํานวณคาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ k i i i 1 k i i 1 f x f จะได คาเฉลี่ยเลขคณิต = (6 5) (7 10) (8 15) (9 10) 5 10 15 10 = 30 70 120 90 40 = 310 40 = 7.75
- 31. หนา |30 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเด็กลุมนี้ = 7.75 ป = 7 ป 0.75 ป = 7 ป 0.75 12 เดือน = 7 ป 9 เดือน ------------- ขอ 23. ตอบ 3 แนวคิด ผองศรีทําการเก็บขอมูลชุดหนึ่ง โดยนํามาเรียงลําดับจากนอยไปมากไดเปน 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 จะได คาเฉลี่ยเลขคณิต = 110 118 130 150 150 160 170 190 210 220 1 0 2 230 24 = 174 มัธยฐาน = 160 180 170 2 พิสัย = 240 – 110 = 130 ในภายหลัง ผองศรีไดรับขอมูลมาเพิ่มอีกหนึ่งคาหลังจากผองศรีเพิ่มขอมูลใหมเขาไปในขอมูลชุดเดิม พิจารณาตัวเลือก 1. ถาเพิ่มขอมูลอีกคาใหเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดเดิม นั่นคือ เพิ่มเขาไปดวย 174 ขอมูลทั้ง 13 จํานวนเรียงจากนอยไปมากไดดังนี้ 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 174 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 จะไดคาเฉลี่ยเลขคณิตขอมูลชุดใหม เทากับ 174 12 174 174 13 ซึ่งจะพบวาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดใหม เทากับคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดเดิม ดังนั้น ตัวเลือก 1. เปนไปได 2. ถาเพิ่มขอมูลอีกคาใหเทากับมัยฐานของขอมูลชุดเดิม นั่นคือ เพิ่มเขาไปดวย 170 ขอมูลทั้ง 13 จํานวนเรียงจากนอยไปมากไดดังนี้ 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 170 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 จะไดมัธยฐานขอมูลชุดใหม เทากับ 170 ซึ่งจะพบวามัธยฐานของขอมูลชุดใหม เทากับมัธยฐานของขอมูลชุดเดิม ดังนั้น ตัวเลือก 2. เปนไปได
- 32. หนา |31 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 3. สมมติให x เปนขอมูลที่เพิ่มเขาไปใหม จากขอมูลชุดเดิมมีคามัธยฐานเทากับ 170 และตองการคามัธยฐานของขอมูลชุดใหมเพิ่มขึ้นจากเดิม 20% แสดงวาคามัธยฐานขอมูลชุดใหม เทากับ 120% ของ 170 ซึ่งเทากับ 120 170 204 100 แตจากขอมูลชุดใหมที่เพิ่ม x เขาไป จะไดเปน กรณีที่ 1. 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , x, 160 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 กรณีที่ 2. 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , x , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 กรณีที่ 3. 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 180 , x , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 จะพบวาทุกกรณี คามัธยฐานขอมูลชุดใหมนอยกวา 204 ดังนั้น ตัวเลือก 3. ไมเปนไปได 4. ถาเพิ่มขอมูลเขาไปดวย 170 ขอมูลทั้ง 13 จํานวนเรียงจากนอยไปมากไดดังนี้ 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 170 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 จะไดพิสัยขอมูลชุดใหม เทากับ 240 – 110 = 130 ซึ่งจะพบวาพิสัยของขอมูลชุดใหม เทากับพิสัยของขอมูลชุดเดิม ดังนั้น ตัวเลือก 4. เปนไปได 5. จากขอมูลชุดเดิมมีพิสัยเทากับ 130 และตองการพิสัยของขอมูลชุดใหมเพิ่มขึ้นจากเดิม 20% แสดงวาพิสัยขอมูลชุดใหมเทากับ 120% ของ 130 ซึ่งเทากับ 120 130 156 100 ถาเพิ่มขอมูลเขาไปดวย 266 ขอมูลทั้ง 13 จํานวนเรียงจากนอยไปมากไดดังนี้ 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 , 266 จะไดวาพิสัยของขอมูลชุดใหมเทากับ 266 – 110 = 156 ซึ่งจะเพิ่มขึ้นจากเดิม 20% ดังนั้น ตัวเลือก 5. เปนไปได จากการพิจารณาจะพบวาเมื่อผองศรีเพิ่มขอมูลใหมเขาไปในขอมูลชุดเดิมแลว ขอมูลชุดใหมมีมัธยฐานเพิ่มขึ้น 20% เปนไปไมได -------------
- 33. หนา |32 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 24. ตอบ 1 แนวคิด ขอมูลแสดงภูมิลําเนาของพนักงานในบริษัทแหงหนึ่ง เปนดังนี้ ภูมิลําเนา จํานวนพนักงาน (คน) ภาคเหนือ 90 ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ 30 ภาคกลาง 50 ภาคตะวันออก 20 ภาคใต 10 จากตาราง ขอมูล คือ ภูมิลําเนา ความถี่ของขอมูล คือ จํานวนพนักงาน ซึ่งจะพบวา ขอมูลภูมิลําเนา เปนขอมูลเชิงคุณภาพ ดังนั้นคากลางที่เหมาะสมสําหรับขอมูลชุดนี้คือ ฐานนิยม ซึ่ง ภูมิลําเนา ภาคเหนือ มีจํานวนพนักงาน(ความถี่) มากที่สุด ดังนั้นคากลางที่ใชเปนตัวแทนของภูมิลําเนาของพนักงานในบริษัทแหงนี้คือ ฐานนิยม คือ ภาคเหนือ ------------- ขอ 25. ตอบ 3. แนวคิด โรงเรียนแหงหนึ่งมีชมรมสําหรับนักเรียน 3 ชมรม คือ ชมรมกีฬา ชมรมศิปวัฒนธรรม และชมรมวิทยาศาสตร นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายทุกคนตองสมัครเขาชมรมคนละหนึ่งชมรม ตารางแสดงจํานวนนักเรียนในแตละชมรม เปนดังนี้ นักเรียนชั้น จํานวนนักเรียนในแตละชมรม (คน) กีฬา ศิลปวัฒนาธรรม วิทยาศาสตร ม.4 85 95 120 ม.5 125 75 100 ม.6 95 100 105 รวม 305 270 325
- 34. หนา |33 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. จากตารางนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย มีทั้งหมด 305 + 270 + 325 = 900 คน สุมนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายมา 1 คน จะไดทั้งหมด 900 วิธี นั่นคือ n(S) = 900 จากตารางนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายที่อยูชมรมกีฬาและไมใชนักเรียนชั้น ม.4 มีทั้งหมด 125 + 95 = 220 คน สุมนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายที่อยูชมรมกีฬาและไมใชนักเรียนชั้น ม.4 มา 1 คน จะไดทั้งหมด 220 วิธี นั่นคือ n(E) = 220 ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะไดนักเรียนที่อยูชมรมกีฬาและไมใชนักเรียนชั้น ม.4 เทากับ n(E) n(S) = 220 11 900 45 ------------- ขอ 26. ตอบ 1. แนวคิด กําหนดให S 9 , 8 , 7 , ... , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 จะพบวา S มีสมาชิกทั้งหมด 15 ตัว ดังนั้นสุมสมาชิก 1 ตัวจาก S จะไดทั้งหมด 15 วิธี พิจารณาเหตุการณ E ซึ่งเปนเหตุการณที่มี a เปนสมาชิกหนึ่งตัวของ S ที่ทําให a a 0 เนื่องจาก a a 0 ก็ตอเมื่อ a a ก็ตอเมื่อ a 0 จะได E = {–9 , –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0} จะพบวา E มีสมาชิกทั้งหมด 10 ตัว ดังนั้นสุมสมาชิก a ตัวจาก S ที่ทําให a a 0 จะไดทั้งหมด 10 วิธี ดังนั้นความนาจะเปนที่สุมสมาชิก a หนึ่งตัวจาก S ที่ทําให a a 0 เทากับ 10 2 15 3 -------------
- 35. หนา |34 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 27. ตอบ 4. แนวคิด กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 5 ใบ ที่มีหมายเลข 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ใบละหนึ่งหมายเลข สุมหยิบสลากในกลองนี้ขึ้นมาสองใบ โดยหยิบทีละใบแบบไมใสคืน หมายเลขที่ไดมาประกอบเปนจํานวนสองหลัก โดยหมายเลขบนสลากใบแรกและใบที่สอง เปนเลขโดดในหลักสิบและเปนเลขโดดในหลักหนวย ตามลําดับ จะไดผลลัพธทั้งหมด S = {13, 15, 17, 19, 31, 35, 37, 39, 51, 53, 57, 59, 71, 73, 75, 79, 91, 93, 95, 97} n(S) = 20 ให E แทนเหตุการณจํานวนสองหลักจากผลลัพธทั้งหมดมีคานอยกวา 60 E = {13, 15, 17, 19, 31, 35, 37, 39, 51, 53, 57, 59} n(E) = 12 ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะไดจํานวนสองหลักที่นอยกวา 60 เทากับ n(E) 12 3 n(S) 20 5 ------------- ขอ 28. ตอบ 3. แนวคิด เนื่องจาก ความถี่สัมพัทธของแตละอันตรภาคชั้น เทากับ ความถี่ของอัตรภาคชั้น ผลรวมของความถี่ทุกอัตรภาคชั้น แสดงวา ความนาจะเปนที่จะสุมขอมูล 1 คา โดยมีคาอยูในแตละอันตรภาคชั้น จะมีคาเทากับ ความถี่สัมพัทธของอัตรภาคชั้นนนั้น ...(*) โดยสมบัติ ผลบวกของความถี่สัมพัทธของทุกอันตรภาคชั้น เทากับ 1 จากตารางแสดงน้ําหนัก (กรัม) ตอผล ของมะนาวจากสวนแหงหนึ่ง ที่โจทยกําหนดให จะไดความถี่สัมพัทธของอัตรภาคชั้นที่เหลือ ดังนี้
- 36. หนา |35 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. น้ําหนัก (กรัม) ตอผล ความถี่สัมพัทธ ความถี่สะสมสัมพัทธ 20 – 29 0.25 0.25 30 – 39 0.40 – 0.25 = 0.15 0.40 40 – 49 0.70 – 0.40 = 0.30 0.70 50 – 59 1 – (0.25 + 0.25 + 0.15+0.30) = 0.05 60 – 69 0.25 สุมมะนาวจากสวนแหงนี้มา 1 ผล ความนาจะเปนที่จะไดมะนาวที่มีน้ําหนักอยูในชวง 40 – 59 กรัม เทากับ 0.30+ 0.05 = 0.35 ------------- ตอนที่ 2 ขอ 29. ตอบ 2 แนวคิด โดยสมบัติของคาสัมบูรณ x 0 สําหรับทุกจํานวนจริง x จากสมการ | a 5 | | b 7 | 0 แสดงวา | a 5 | 0 และ | b 7 | 0 a 5 0 และ b 7 0 a = –5 และ b = 7 ดังนั้น a + b = –5 + 7 = 2 ------------- ขอ 30. ตอบ 15 แนวคิด เมื่อวินัยยืนอยูที่โคนเสา A เขามองขึ้นไปบนยอดเสา B เปนมุมเงยขนาด 30 องศา และเมื่อวินัยยืนอยูที่โคนเสา B เขามองขึ้นไปยอดเสา A เปนมุมเงยขนาด 60 องศา โดยที่เสา A สูง 45 เมตร เนื่องจากมุมเงยมองยอดเสา B นอยกวา มุมเงยที่มองยอดเสา A แสดงวาความสูงเสา B นอยกวา ความสูงเสา A ดังรูป
- 37. หนา |36 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. จากรูปสามเหลี่ยม PQR จะได PQ tan60 PR 45 3 PR 3(PR) 45 45 PR 3 45 3 PR 3 PR 15 3 จากรูปสามเหลี่ยม PRS จะได RS tan 30 PR 1 RS 3 15 3 15 3 RS 3 15 RS ดังนั้นเสา B สูง 15 เมตร ------------- ขอ 31. ตอบ 3 แนวคิด จาก A {1 , 2 , a, b , c} {1 , b , c} จะได A = {2, a} จาก B {2 , 3 , c} {2 , b , d} จะได B = {2, 3, b, c, d} 45เสา A เสา B 60 30 P Q R S
- 38. หนา |37 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. จาก C {1 , 2 , 3 , b} {3 , a , b} จะได C = {3, b} ดังนั้น B (A C) = {2,3,b,c,d} {2,a} {3,b} = {2,3,b,c,d} {2,3,a,b} = {2, 3, b} จะพบวา จํานวนสมาชิกของเซต B (A C) ) เทากับ 3 ------------- ขอ 32. ตอบ 9900 แนวคิด ให เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ตารางหนวย พิจารณาการนํา มาวางตอกันแลวแรเงาบางรูป ตามแบบรูปตอไปนี้ ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2 ขั้นที่ 3 จะพบความสัมพันธของจํานวนของรูปสี่เหลี่ยม ในแตละขั้น ดังนี้ ขั้นที่ จํานวนรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมด จํานวนรูปสี่เหลี่ยมที่แรเงา จํานวนรูปสี่เหลี่ยมที่ไมแรเงา ขั้นที่ จํานวนรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมด จํานวนรูปสี่เหลี่ยมที่แรเงา จํานวนรูปสี่เหลี่ยมที่ไมแรเงา 1 2 2 = 4 2 (2 2) – 2 = 4 2 3 3 = 9 3 (3 3) – 3 = 6 3 4 4 =16 16 (4 4) – 4 = 12 จากความสัมพันธที่ไดในตารางขางตน จะไดวาในขั้นที่ 99 มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ตารางหนวย ซึ่งไมไดแรเงา ทั้งหมด (100 100) 100 9900 รูป -------------
- 39. หนา |38 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 33. ตอบ 27 แนวคิด กําหนดลําดับเลขคณิต 2 , 9, 16 , ... จะพบวา พจนแรก ( 1a ) เทากับ 2 ผลตางรวม (d) เทากับ 9 – 2 = 7 จากสูตรพจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต n 1a a (n 1)d จะไดพจนทั่วของลําดับ 2 , 9, 16 , ... คือ na 2 (n 1)7 2 7n 7 7n 5 พิจารณาหาพจนที่มีคาของพจนนั้นอยูในชวง [180, 185] จากการแกอสมการ n180 a 185 แทน na 7n 5 ; 180 7n 5 185 185 7n 190 185 190 n 7 7 3 1 26 n 27 7 7 โดยที่ n เปนจํานวนนับ จะได n = 27 แสดงวาพจนที่ 27 มีคาอยูในชวง [180, 185] ------------- ขอ 34. ตอบ 3 แนวคิด จากการสอบถาม เรื่องความชอบไอศกรีมรสวนิลาและรสสม ของเด็กอนุบาลจํานวน 40 คน พบวา มี 25 คน ชอบรสวนิลา 10 คน ชอบรสสม 8 คน ไมชอบทั้งรสวนิลาและรสสม
- 40. หนา |39 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ให U แทนเซตของเด็กอนุบาลทั้งหมด A แทนเซตของเด็กอนุบาลที่ชอบไอศกรีมรสวนิลา B แทนเซตของเด็กอนุบาลที่ชอบไอศกรีมรสสม จากที่โจทยกําหนดจะได n(A) = 25, n(B) = 10, n(A B ) 8 และ n( ) 40U โดยสมบัติ n(A B) n( ) n(A B ) U จะได n(A B) = 40 – 8 = 32 โดยสมบัติ n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 32 = 25 + 10 – n(A B) 32 = 35 – n(A B) n(A B) = 35 – 32 n(A B) = 3 ดังนั้นมีเด็กอนุบาลที่ชอบทั้งรสวนิลาและรสสมจํานวน 3 คน ------------- ขอ 35. ตอบ 9 แนวคิด โจทยกําหนดกราฟของ 2 f(x) ax bx c ตัดแกน Y ที่จุด (0, 1) มีจุดวกกลับที่ (3, 0) ดังรูป 0 X Y 1 1 2 22 1 3 3 4 5 6 7 8 1
- 41. หนา |40 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. โดยรูปมาตรฐานของฟงกชันกําหนดสองอีกแบบหนึ่งคือ 2 f(x) a(x h) k เมื่อ (h, k) เปนจุดวกกลับ โดยที่กําหนดจุดวกกลับคือ (3, 0) จะได f(x) = 2 a(x 3) 0 = 2 a(x 3) ...(*) เนื่องจากจุด (0, 1) อยูบนกราฟของ f(x) แสดงวา f(0) = 1 ดังนั้น x = 0 ในสมการ (*) จะได f(0) = 2 a(0 3) แทน f(0) = 1 ; 1 = 9a a = 1 9 แทน a = 1 9 ใน (*) จะได f(x) = 21 (x 3) 9 ดังนั้น 2 21 1 1 f( 6) ( 6 3) ( 9) 81 9 9 9 9 ------------- ขอ 36. ตอบ 42 แนวคิด นักเรียนหองหนึ่งไดตกลงกันวา แตละคนจะทําการดอวยพรวันปใหมและสงใหเพื่อนๆ ในหองทุกคน โดยที่นักเรียนทุกคนในหองนี้ทําตามขอตกลง และมีบัตรอวยพรที่สงใหกันทั้งหมด 1,722 ใบ สมมติใหนักเรียนหองนี้มีจํานวน n คน โดยแตละคนสงการดอวยพรใหคนอื่นๆ 1 ใบ แสดงวานักเรียนแตละคนจะทําการดอวยพรจํานวน n – 1 ใบ ดังนั้นจํานวนการดทั้งหมดที่สงใหกันเทากับ n(n 1) ใบ ดังนั้นสมการคือ n(n – 1) = 1722 n(n – 1) = 42 41 ดังนั้น n = 42 แสดงวานักเรียนหองนี้มีทั้งหมด 42 คน -------------
- 42. หนา |41 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 37. ตอบ 8 แนวคิด จากสมการ 2 |x 4| 33 27 จะได 2 |x 4| 3 33 (3 ) 2 (3 ) |x 4| 33 3 |x 4| 2 3 3 แสดงวา x 4 2 x – 4 = 2 หรือ x – 4 = –2 x = 6 หรือ x = 2 คําตอบของสมการไดแก 2 , 6 ดังนั้นผลบวกของคําตอบของสมการ เทากับ 2 + 6 = 8 ------------- ขอ 38. ตอบ 7 แนวคิด กําหนดขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวยจํานวนเต็มบวก 10 จํานวน ดังนี้ 5 , 6 , 9 , 6 , 10 , 5 , 9 , 8 , x , y โจทยกําหนดคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้คือ 7.2 แสดงวา 5 + 6 + 9 + 6 + 10 + 5 + 9 + 8 + x 7.2 10 + y 7.2 1 5 x y 0 8 58 + x + y = 72 x + y = 14
- 43. หนา |42 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. สมมติให x < y พิจารณาคา x, y ดังนี้ กรณีที่ 1 x = 1 , y = 13 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 1, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 9, 10, 13 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2 กรณีที่ 2 x = 2 , y = 12 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 2, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 9, 10, 12 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2 กรณีที่ 3 x = 3 , y = 11 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 3, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 9, 10, 11 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2 กรณีที่ 4 x = 4 , y = 10 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 4, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 9, 10, 10 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2 กรณีที่ 5 x = 5 , y = 9 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2 กรณีที่ 6 x = 6 , y = 8 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 10 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2 กรณีที่ 7 x = 7 , y = 7 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 7 7 7 2 จากรณีที่ 1 ถึงกรณีที่ 7 จะไดวา คามัธยฐานของขอมูลชุดนี้เทากับ 7 -------------
- 44. หนา |43 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 39. ตอบ 84 แนวคิด ผลการสอบของนักเรียนจํานวน 49 คน ปรากฏดังแผนภาพตน – ใบ 3 4 5 5 8 4 0 5 6 7 8 8 5 0 1 2 3 4 5 6 6 7 7 6 2 2 2 5 5 5 8 8 9 9 7 0 5 5 5 6 8 8 9 8 0 2 3 3 4 5 7 9 0 3 4 5 ตําแหนงของเปอรเซ็นไทลที่ 85 เทากับ 85(N 1) 100 = 85(49 1) 42.5 100 จากแผนภาพ ตน – ใบ จะไดวา ตําแหนงที่ 42 ขอมูลมีคาเทากับ 83 ตําแหนงที่ 43 ขอมูลมีคาเทากับ 84 ดังนั้น ตําแหนงที่ 42.5 ขอมูลมีคาเทากับ 83 84 83.5 2 นั่นคือเปอรเซ็นไทลที่ 85 เทากับ 83.5 คุณครูกําหนดวาจะใหระดับคะแนน 4 แกนักเรียนที่สอบไดสูงกวาเปอรเซ็นไทลที่ 85 นักเรียนกลุมนี้ที่ไดระดับคะแนน 4 ไดแกคนที่สอบคะแนน 84, 85, 87, 90, 93, 94, 95 ดังนั้น นักเรียนในกลุมที่ไดระดับคะแนน 4 ไดคะแนนต่ําสุด 84 คะแนน -------------
- 45. หนา |44 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 40. ตอบ 0.9 แนวคิด วันทามีธนบัตรหนึ่งพันบาท 3 ฉบับ และธนบัตรหารอยบาท 2 ฉบับ ให T1 , T2 , T3 แทนธนบัตรหนึ่งพันบาท H1 , H2 แทนธนบัตรหารอยบาท วันทาสุมหยิบธนบัตรขึ้นมา 2 ฉบับพรอมกัน จะไดผลลัพธทั้งหมด ไดแก {T1, T2}, {T1, T3}, {T1, H1}, {T1, H2}, {T2, T3}, {T2, H1}, {T2, H2}, {T3, H1}, {T3, H2}, {H1, H2} ดังนั้น n(S) = 10 จะไดเหตุการณที่หยิบไดธนบัตรมีมูลคารวมกันมากกวา 1,200 บาท ไดแก {T1, T2}, {T1, T3}, {T1, H1}, {T1, H2}, {T2, T3}, {T2, H1}, {T2, H2}, {T3, H1}, {T3, H2}, ดังนั้น n(E) = 9 จะได ความนาจะเปนที่สุมไดธนบัตร 2 ฉบับมีมูลคารวมกันมากกวา 1,200 บาท เทากับ n(E) 9 0.9 n(S) 10 -------------