ความรู้เบื้องต้น
เกี่ยวกับจำนวนจริง
คำนำ
บทเรียนสำเร็จรูปเล่มนี้ จัดทำขึ้นเพื่อพัฒนา
กระบวนการเรียนรู้ที่มีคุณภาพให้กับนักเรียนตาม
หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช
2551 (ฉบับปรับปรุ ง พ.ศ. 2560) โดยมีเป้ าหมาย
สำหรับนักเรียนชั้ นมัธยมศึกษาปี ที่
2 ซึ่ งเป็ นกระบวนการจัดการเรียนรู้ที่ยึดผู้เรียนเป็ น
สำคัญ ในบทเรียนสำเร็จรูปเล่มนี้มีกิจกรรมปฏิบัติเป็ น
ขั้นตอน
มีวิธีวัดผลประเมินผลที่สอดคล้องกับหลักการ
ของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช
2551 (ฉบับปรับปรุ ง พ.ศ. 2560) และหลักสูตรสถาน
ศึกษา นักเรียนสามารถศึกษาด้วยตนเองและมี
กระบวนการเรียนรู้ให้เข้าใจง่ายได้รับประสบการณ์ และ
มีประโยชน์ ต่อการดำรงชีวิต
ผู้จัดทำหวังเป็ นอย่างยิ่งว่า บทเรียนสำเร็จรูป
ซึ่ งมีเนื้อหาเกี่ยวกับ "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับ
จำนวนจริง" จะมีประโยชน์ เสมือนคู่มือของการศึกษา
สามารถพัฒนาบุคคล พัฒนาสังคม พัฒนาชุมชน
ให้
บรรลุสำเร็จตามเป้ าหมายและวัตถุประสงค์ต่อไป
สาระและมาตรฐานการเรียนรู้
สาระ จำนวนและพีชคณิ ต
มาตรฐาน ค. 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดง
จำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของ
จำนวน ผลที่เกิดขึ้นจากการดำเนินการ
สมบัติของการดำเนินการ และนำไปใช้
ตัวชี้วัด
เข้าใจจำนวนจริงและความสัมพันธ์ของ
จำนวนจริง และใช้สมบัติของจำนวนจริงในการแก้
ปัญหาคณิ ตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง
จุดประสงค์ ของบทเรียน
นักเรียนสามารถ
1.
จำแนกจำนวนจริงได้ว่าจำนวนใดเป็ น
จำนวนตรรกยะ จำนวนใดเป็ นจำนวนอตรรกยะ
2. เขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วน
3. เปรียบเทียบจำนวนจริง
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง
นักเรียนเคยทราบมาแล้วว่าจำนวน เช่น 0, 1, 2,
3, -1, -2, -3, 1 , 2 และ 4 เป็ นจำนวนที่สามารถเขียน
2 3 6
ให้อยู่ในรูป เมื่อ a และ b เป็ นจำนวนเต็มที่ ในทาง
คณิ ตศาสตร์เรียกจำนวนเหล่านี้ว่า จำนวนตรรกยะ
(rational number)
จำนวนตรรกยะ คือจำนวนที่เขียนแทนได้ด้วยเศษส่วน a
b
เมื่อ a และ b เป็ นจำนวนเต็มที่ b = 0
โดยจำนวนตรรกยะสามารถแบ่งย่อยออกมาได้
2 เรื่องใหญ่ๆ คือ จำนวนเต็มและจำนวนที่ไม่ใช่
จำนวนเต็ม
จากการที่นักเรียนได้เรียนเกี่ยวกับจำนวนต่าง ๆ
ในวิชาคณิ ตศาสตร์กันไปแล้วนักเรียนจะทราบว่ามนุษย์ได้
สร้างและกำหนดตัวเลขขึ้นมาเพื่อนำมาใช้แก้ปัญหาที่พบ
ในชีวิตประจำวัน จำนวนที่ถูกคิดค้นขึ้นมา หนึ่งในนั้นคือ
จำนวนเต็ม โดยจำนวนเต็มสามารถแบ่งออกเป็ น
จำนวนเต็มบวก ศูนย์ และจำนวนเต็มลบ ดังแผนภาพ
จำนวนเต็ม
จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเต็มบวก
ตัวอย่าง
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
จำนวนเต็มลบ ได้แก่ -1, -2, -3, -4, -5, -6, ...
ศูนย์ ได้แก่ 0
จำนวนเต็มบวก ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
ตรวจสอบความเข้าใจ
คำชี้แจง จงนำจำนวนต่อไปนี้ เติมลงไปในช่องว่างให้ถูกต้อง
12, 14, -9, -465, -54, 43, 38, 0, -29, 58, -10, 9, 465
จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเต็มบวก
จำนวนตรรกยะ คือจำนวนที่เขียนแทนได้ด้วยเศษส่วน a
b
เมื่อ a และ b เป็ นจำนวนเต็มที่ b = 0
นักเรียนสามารถทราบได้ว่า
เศษส่วน a
b
เมื่อ a และ b เป็ นจำนวนเต็มที่ b = 0 สามารถเขียนให้
อยู่ในรูปของทศนิยมได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
5 =0.62500000…
8
จากข้อความข้างต้นนักเรียนสามรถทราบได้ว่า
จำนวนตรรกยะไม่ได้มีเพียงจำนวนเต็มเพียงอย่างเดียว ยัง
มีจำนวนที่ไม่ใช้จำนวนเต็ม อย่างเศษส่วนและทศนิยมซ้ำ
อีกด้วย ดังแผนภาพ
จำนวนที่ไม่ใช้จำนวนเต็ม
เศษส่วน ทศนิยมซ้ำ
ทศนิยมซ้ำ แบ่งออกได้เป็ นสองประเภทคือ ทศนิยมซ้ำ
ศูนย์ ทศนิยมที่ไม่ซ้ำศูนย์ ดังนี้
ทศนิยมซ้ำศูนย์ เช่น
0.7, 0.08, -0.123, 1.671, 2.4
ทศนิยมที่ไม่ซ้ำศูนย์ เช่น 0.222..., 1.2323...,
-2.345345..., 6.585555...
เศษส่วน แบ่งออกเป็ นสามประเภทคือ เศษส่วนแท้
จำนวนคละ และเศษเกิน ดังนี้
เศษส่วนแท้ หรือเศษส่วนสามัญ เช่น 1 , 2 , 7
2 4 11
, 14 , 53
20 79
เศษส่วนเกิน เช่น 4 9 , 13 , 25 , 78
3 , 5 12 21 67
จำนวนคละ เช่น 3 , 6 , 15 11 ,
14 59 29
9
9 18 , 45 23
35
โดยจำนวนที่ไม่ใช้จำนวนเต็ม ได้แก่เศษส่วน
และทศนิยมซ้ำนั้น
ต่างมีความสัมพันธ์กัน ดังนี้
1. เศษส่วน สามารถทำให้อยู่ในรูปทศนิยมซ้ำได้ 2 กรณี
กรณี ที่ 1 เศษส่วนที่เมื่อเขียนอยู่ในรูปทศนิยมแล้ว เป็ น
ทศนิยมที่ซ้ำศูนย์
7 49 5 49
ตัวอย่าง 10 5
0.7 วิธีทำ
วิธีทำ 10 70
70
0
ตอบ 0.7 ตอบ
17 98
20 100
วิธีทำ วิธีทำ
ตอบ ตอบ
กรณี ที่ 2 เศษส่วนที่เมื่อเขียนในรูปทศนิยมแล้ว เป็ ย
ทศนิยมที่ไม่ซ้ำศูนย์
4 5 11 5
ตัวอย่าง 9 11
0.44... วิธีทำ
วิธีทำ 9 40
ตอบ
36
40
36
4
ตอบ 0.44... หรือ 0.4
3 17
22 9
วิธีทำ วิธีทำ
ตอบ ตอบ
2. ทศนิยมซ้ำ สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน เกิดได้ 2
กรณี ดังนี้
กรณี ที่ 1 การเขียนทศนิยมซ้ำที่ซ้ำศูนย์ให้อยู่ในรูปเศษส่วน
ตัวอย่างที่ 1 5.2 เขียนให้อยู่ในรู ปเศษส่วนได้ 52
10
ตัวอย่างที่ 2 1.29 เขียนให้อยู่ในรู ปเศษส่วนได้ 129
100
ตัวอย่างที่ 3 0.4444 เขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ 4444
10000
ตรวจสอบความเข้าใจ
คำชี้แจง
จงเขียนทศนิยมที่ซ้ำศูนย์ต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูป
เศษส่วน
0.34 34 1.567 1567
6.9803 100 5.555 1000
27.34 509.1542
654.7745 6.2299867
-9.6645 -9.5489
กรณี ที่ 2 การเขียนทศนิยมซ้ำที่ไม่ซ้ำศูนย์ให้อยู่ในรูป
เศษส่วน โดยทศนิยมซ้ำศูนย์สามารถแบ่งได้อีก 2 รูปแบบ
คือ ทศนิยมที่ซ้ำทุกตำแหน่ง และทศนิยมที่ซ้ำบางตำแหน่ง
ซึ่ งการเขียนทศนิยมที่ไม่ซ้ำศูนย์ทั้งสองรูปแบบต่างมีวิธีเขียน
ให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ 2 แนวคิด ดังนี้
แนวคิดที่ 1
จงเขียนทศนิยมซ้ำที่กำหนดให้ต่อไปนี้ให้อยู่ในรู
ปเศษส่วน
ตัวอย่าง 0.2
วิธีทำ ให้ N = 0.2222... เป็ นสมการที่ 1
10 x สมการที่ 1
จะได้ 10N = 2.2222... เป็ นสมการที่ 2
นำ 2 - 1
จะได้ 10N - N = 2.2222... - 0.2222...
9N = 2
2 N= 2
ตอบ 0.2 = 9 9
ตรวจสอบความเข้าใจ
คำชี้แจง จงเขียนทศนิยมซ้ำที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ให้อยู่ใน
รู ปเศษส่วน
0.3
วิธีทำ
ตอบ
0.437
วิธีทำ
ตอบ
0.98779
วิธีทำ
ตอบ
0.512
วิธีทำ
ตอบ
0.958823
วิธีทำ
ตอบ
แนวคิดที่ 2
การเขียนทศนิยมซ้ำที่ไม่ใช้ทศนิยมซ้ำศูนย์ให้เป็ นเศษส่วน
ตัวเศษ = เลขทุกตัว - เลขที่ไม่ซ้ำ
ตัวส่วน 9 นำ 0 ตาม
จำนวนเลข 9 เท่ากับ จำนวนเลขซ้ำ
หลังจุดทศนิยม
จำนวนเลข 0 เท่ากับ ตัวเลขที่ไม่ซ้ำ
หลังจุดทศนิม
ตัวอย่าง
จงเขียนทศนิยมซ้ำที่กำหนดให้ต่อไปนี้ให้อยู่ในรู ปเศษส่วน
1. 0.56 = 56
99
ใส่เลขเก้า 2 ตัว
2. 0.147 = 147 - 1 = 146 = 73
3. 5.3168 = 990 990 495
ใส่เลขเก้า 2 ตัว
เลขศูนย์ 1 ตัว
53,168 - 531 = 52,637
9,900 9,900
ใส่เลขเก้า 2 ตัว
เลขศูนย์ 2 ตัว
ลบออกด้วยเลขที่
ไม่ซ้ำ
ตรวจสอบความเข้าใจ
คำชี้แจง จงเขียนทศนิยมซ้ำที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ให้อยู่ใน
รู ปเศษส่วน
0.67
0.745
0.26829
1.679
4.7824
76.45
9.5537
90.453
จากที่กล่าวมาข้างต้นนั้น นักเรียนจะเห็นว่า
จำนวนเต็ม หรือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ต่างก็ สามารถ
เขียนให้อยู่ในรูปเศบส่วนได้ ดังนั้น จึงได้จัดจำนวนทั้งสอง
ให้อยู่ในกลุ่มเดียวกันได้
โดยใช้ ชื่อว่า จำนวนตรรกยะ
ตรวจสอบความเข้าใจ
คำชี้แจง จงนำ จำนวนตรรกยะ ที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ไปเติม
ลงในช่องว่างของแผนภาพให้ถูกต้อง
5.0000... 13 -6.000... -3 1
-4.5 1 -2.3 4
0.2
1.5555 32 -4
5 1
16 0 -9
0.121212 9
5
1 1.222...
3
4 1.23434... -38.00
ตรวจสอบความเข้าใจ
คำชี้แจง จงนำ จำนวนตรรกยะ ที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ไปเติม
ลงในช่องว่างของแผนภาพให้ถูกต้อง
จำนวนตรรกยะ
จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ
ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเต็มบวก ทศนิยมซ้ำ เศษส่วน
จากที่ได้เรียนมาในข้างต้น นักเรียนทราบแล้วว่า
จำนวนตรรกยะ คือจำนวนที่เขียนแทนได้ด้วยเศษส่วน a
b
เมื่อ a และ b เป็ นจำนวนเต็มที่ b = 0
ถึงแม้ว่าจำนวนตรรกยะสามารถนำไปใช้ได้อย่าง
กว้างขวาง แต่ก็ยังมีปัญหา หรือบางสถานะการณ์ ที่ไม่
สามารถใช้จำนวนตรรกยะแทนจำนวนที่ต้องการสื่อได้
ให้นักเรียนพิจารณาสถาณการณ์ ต่อไปนี้
"ก้อยต้องการทำสวนหย่อมที่หน้าบ้านให้เป็ นรูป
สี่เหลี่ยมจตุรัส ให้มีพื้นที่ 5 ตารางเมตร แล้วก้อยต้องสร้าง
สวนย่อมให้มีความยาวด้านละเท่าไหร่"
a
รู ปสี่เหลี่ยมจตุรัส
ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน
a สวนหย่อม a
มีพื้นที่ 5 ตารางเมตร
พื้นที่ของรู ป= สดี่้เาหนล2ี่ยม
จตุรัส
a
ก้อยต้องการทราบว่า ด้านแต่ละด้านของสวนหย่อม
ยาวเท่าใด จึงได้ใช้วิธีการหาดังนี้
วิธีทำ เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส = ด้าน2
และกำหนดให้ a แทนความยาวด้านของสวนหย่อม
แต่ละด้าน (หน่วยเป็ นเมตร)
จึงได้สมการ a2 = 5
ดังนั้นก้อยจะต้องหา a ซึ่
งก็คือจำนวนบวกที่
ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ 5 โดยใช้วิธีการลอง
แทนค่า a ด้วยจำนวนเต็มบวกแล้วพิจารณาค่าที่ได้
ดังตารางต่อไปนี้
0 1 234 5 6 7
a1 23 45
a2
จากตารางจะเห็นว่า a มีค่าอยู่ระหว่าง .....................
หาค่าที่อยู่ระหว่าง ...................... โดยเริ่มพิจารณาทศนิยม 1
ตำแหน่ง ซึ่ งก็คือ .........................
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
a 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
a2
จากตารางจะเห็นว่า a มีค่าอยู่ระหว่าง
.....................
หาค่าที่อยู่ระหว่าง ...................... โดยเริ่มพิจารณาทศนิยม 2
ตำแหน่ง ซึ่ งก็คือ .........................
2.2 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27
a 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25
a2
จากตารางจะเห็นว่า a มีค่าอยู่ระหว่าง .....................
หาค่าที่อยู่ระหว่าง ...................... โดยเริ่มพิจารณาทศนิยม 2
ตำแหน่ง ซึ่ งก็คือ .........................
2.23 2.231 2.232 2.233 2.234 2.235 2.236 2.237
a 2.233 2.234 2.235 2.236
2.237
a2
จากตารางจะเห็นว่า a มีค่าอยู่ระหว่าง .....................
การหาค่า a จากกิจกรรมข้างต้น พบว่าหากเราหาค่า
ของ a ต่อไปเรื่อย ๆ ค่าที่ได้นั้นจะเป็ น ทศนิยมที่ต่อไปได้โดย
ไม่สิ้นสุด และต่อมาได้มีการใช้เครื่องมือในการคำนวณหาค่า
ดังกล่าว พบว่า
a = 2.2360679774997896964091736687312762354...
ทศนิยมในลักษณะนี้ ไม่สามารถหารูปแบบที่ซ้ำได้
และไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป เศษส่วนของจำนวนเต็ม
โดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ได้ จึงได้เกิดจำนวนชนิดใหม่ขึ้น
มา
และเรียก จำนวนที่เป็ นทศนิยมไม่ซ้ำ หรือจำนวนที่ไม่
สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้นี้ว่า จำนวนอตรรกยะ
จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วย
ทศนิยมซ้ำ หรือ ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วน
a ได้ เมื่อ a และ b เป็ นจำนวนเต็มที่ b = 0
b
จากปัญหาความยาวด้านของสวนหย่อมที่มีพื้นที่ 5
ตารางเมตร ทำให้เราทราบว่า ความยาวแต่ละด้านของสวน
หย่อมเป็ นทศนิยมไม่ซ้ำและไม่รู้จบ ในทางคณิ ตศาสตร์จึงได้
√กำหนด เครื่องหมายกรณฑ์ " " เพื่อช่วยในการเขียนแทน
จำนวนที่มีลักษณะดังกล่าวให้สะดวกและ
รวดเร็วขึ้น และ
สามารถแทนค่าไดยตรงไม่ต้องใช้ค่าประมาณในการตอบ
ดังนี้
ให้ a แทนจำนวนบวกใด ๆ กรณฑ์ที่สองของ ล คือ จำนวนบวก
√ที่ยกกำลังสองแล้วเท่ากับ ใช้สัญลักษณ์ " a " แทนกรณฑ์ที่สอง
√2
ของ a นั่นคือ ( a ) = a
√จากการกำหนดเครื่องหมาย " " ข้างต้น เราจึง
สามารถเขียนแทนความยาวด้านของ สวนหย่อม (a) ในรูป
ต่าง ๆ ได้ดังนี้
a
√a a = 5 a
a
a = 2.2360679774997896964091736687312762354...
√นอกจาก 5 แล้ว ยังมีจำนวนที่มีลักษณะดังกล่าว
อีกมากมายที่เป็ นทศนิยมที่หารูปแบบซ้ำไมได้ ให้นักเรียน
พิจารณาจำนวนต่อไปนี้ จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่า
เท่ากับ เเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ มีค่าดังนี้
√จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ 1 เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ มีค่าดังนี้ 1 = 1
จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ 2เขียนแทนด้วย
√สัญลักษณ์ 2 มีค่าดังนี้
√2 = 14142135623730950488016887242096980...
จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ 3เขียนแทนด้วย
√สัญลักษณ์ 3มีค่าดังนี้
√3 =
173205080756887729352744634150587236...
√ √จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ 4 เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ 4มีค่าดังนี้ 4 = 2
จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ 6เขียนแทนด้วย
√สัญลักษณ์ 6มีค่าดังนี้
√6 = 2.44948974278317809819728407470589139196...
จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ 7 เขียนแทนด้วย
√สัญลักษณ์ 7มีค่าดังนี้
√7 = 2.6457513110645905905016157536392604...
จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ 8 เขียนแทนด้วย
√สัญลักษณ์
8มีค่าดังนี้
√8 = 2.82842712474619009760337744841939...
√ √จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าท่ากับ 9 เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ 9 มีค่าดังนี้ 9 = 3
จำนวนบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ 10 เขียนแทนด้วย
√สัญลักษณ์ 10 มีค่าดังนี้
√10 = 3.1622776601683793319988935444327185337...
จากการหาค่ากรณฑ์ที่สองของจำนวนตั้งแต่ 1 - 10 พบว่า
√ √ √1. 1 , 4 , 9 สามารถหาค่าของกรณฑ์ที่สองได้เป็น
จำนวนเต็ม จึงเป็ น จำนวนตรรกยะ
√ √ √ √ √ √ √2. 2, 3 , 5 , 6 , 7 , 8, 10 ค่าของกรณฑ์ที่สอง ไม่
เป็ นจำนวนเต็ม ยิ่งไปกว่านั้น ยังพบว่าเป็ นทศนิยมที่ไม่ซ้ำ หา
ที่สิ้นสุดไม่ได้ จึงเป็ น จำนวนอตรรกยะ
จากที่กล่าวมาข้างต้น สรุ ปได้ว่า จำนวนที่เป็ น
จำนวนอตรรกยะ ได้แก่ จำนวนที่มีลักษณะดังนี้
1.จำนวนที่อยู่ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ เช่น
1.2345678910111213.... 0.112233445566...,
1.12112111211112111112..., 0.010203040506... เป็ นต้น
√2.จำนวนที่อยู่ในรูป a เมื่อจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้
ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ
3. ค่า
π
ตรวจสอบความเข้าใจ
คำชี้แจง จงระบุว่าจำนวนที่กำหนดให้ในแต่ละข้อเป็ น
จำนวนตรรกยะ หรือจำนวนอตรรกยะ
1. 1.212211222... เป็ นจำนวน............................
2. 0.123123123... เป็ นจำนวน............................
3. -8.101001000... เป็ นจำนวน............................
4. 12.663324... เป็ นจำนวน............................
เป็ นจำนวน............................
√5. 15
√6. 16 เป็ นจำนวน............................
√7. 18 เป็
นจำนวน............................
√8. 25 เป็ นจำนวน............................
√9. 64 เป็ นจำนวน............................
√10. 91 เป็ นจำนวน............................
เป็ นจำนวน............................
11. π เป็ นจำนวน............................
เป็ นจำนวน............................
√12. 2+ 5 เป็ นจำนวน............................
√13. 7 เป็ นจำนวน............................
3
14. 3.14
√15. 2 3
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง
จำนวนจริง
รู้จักจำนวนจริง จากการศึกษาเรื่อง
จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ
จำนวนตรรกยะ คือจำนวนที่เขียนแทนได้ด้วยเศษส่วน a
b
เมื่อ a และ b เป็ นจำนวนเต็มที่ b = 0
จำนวนตรรกยะ
จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ
ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเต็มบวก ทศนิยมซ้ำ เศษส่วน
จำนวนตรรกยะนั้นสามารถใช้แก้ปัญหา หรือใช้
แทนจำนวนได้ครอบคลุมเป็ นอย่างมาก และเป็ นจำนวนที่
มนุษย์นั้นคุ้นเคย เพราะประกอบด้วยจำนวนเต็ม เศษส่วน
ของจำนวนเต็ม และ ทศนิยมซ้ำ ถึงแม้ว่าจำนวนตรรกยะจะ
สามารถนำไปใช้ได้อย่างกว้างขวาง แต่ก็ยังมีบางปัญหาหรือ
บางสถานการณ์ ที่ไม่สามารถใช้จำนวนตรรกยะแทนจำนวนที่
ต้องการสื่อได้ เช่น ปัญหาความ ยาวด้านของสวนหย่อมที่มี
พื้นที่ยาวเท่ากับ 5 ตารางหน่วย หรือค่า π ที่คำนวณจากความ
ยาว ของเส้นรอบวงของวงกลมหารด้วยความยาวของเส้นผ่าน
ศูนย์กลาง พบว่าค่าที่ได้นั้น เป็ นทศนิยมที่ไม่ซ้ำ ซึ่ งทศนิยมที่
ไม่ซ้ำนี้ ไม่สามารถเขียนเป็ นเศษส่วนได้ จึงเกิดเป็ นจำนวน
ชนิดใหม่ขึ้นมา คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วย
ทศนิยมซ้ำ หรือไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป เศษส่วนได้
จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วย
ทศนิยมซ้ำ หรือ ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วน
a ได้ เมื่อ a และ b เป็ นจำนวนเต็มที่ b=0
b
จำนวนอตรรกยะ
√ √ทศนิยมไม่ซ้ำ
a เมื่อค่าของ a
ไม่เป็ นจำนวนตรรกยะ
ค่า π
เนื่องจากจำนวนทั้งสอง มีสิ่งที่คล้ายกันคือ เป็ น
จำนวนที่เกิดขึ้นและสามารถนำไปใช้ได้ จริง ตั้งแต่อดีตจนถึง
ปัจจุบัน
เพื่อนำมาอธิบายสถานการณ์ บางอย่าง หรือใช้แทน
จำนวนเพื่อ สื่อสารและแก้ปัญหา จึงได้จัดให้จำนวนทั้งสอง
ชนิดนี้อยู่ในกลุ่มเดียวกันภายใต้ชื่อว่า จำนวนจริง
จำนวนจริง
จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ
จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ ทศนิยมไม่ซ้ำ
ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม a เมื่อค่าของ a
ไม่เป็ นจำนวนตรรกยะ
ค่า π
√√
จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเต็มบวก ทศนิยมซ้ำ เศษส่วน
ตรวจสอบความเข้าใจ
คำชี้แจง จงเติม 1-9 ลงใน ช่องละ 1 ตัว ให้ตรงตาม
ที่เงื่อนไขกำหนด โดยที่เลขโดดแต่ละตัว ใช้ได้เพียง 1 ครั้ง
เท่านั้นในแต่ละข้อ
1. จำนวนเต็มที่อยู่ในรูปเศษส่วน
2. ทศนิยมซ้ำศูนย์ ที่อยู่ในรู ปเศษส่วน
จำนวนตรรกยะ
√3. จำนวนอตรรกยะ
√4.
√5. เป็ นจำนวนเต็มที่มีค่าอยู่่ระหว่าง 13
กับ 20 เป็ นจำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ 9
√6. √ เป็ นจำนวนอตรรกยะ
7. เป็ นจำนวนเต็มที่อยู่ในรูปเศษส่วน
√8.
√