หนังสือเรียน รายวิชา เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 1

คูม� อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติม ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท� ่ี คณติ ศาสตร� ๖ เลม� ๑ ตามผลการเรียนรู� กลม�ุ สาระการเรยี นร�ูคณิตศาสตร� (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช ๒๕๕๑ v= ds dt ฉบับเผยแพร พ.ค. 63

คมู อื ครู รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ ๖ เลม ๑ ตามผลการเรียนรู กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร (ฉบับปรบั ปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาขน้ั พื้นฐาน พทุ ธศกั ราช ๒๕๕๑ จดั ทําโดย สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ

คาํ นาํ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) มีหนาที่ในการ พัฒนาหลักสูตร วิธีการเรียนรู การประเมินผล การจัดทําหนังสือเรียน คูมือครู แบบฝก ทักษะ กิจกรรม และสื่อการเรียนรูเพื่อใชประกอบการเรียนรูในกลุมสาระการเรียนรู วิทยาศาสตรแ ละคณิตศาสตรข องระดับการศึกษาขน้ั พืน้ ฐาน คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี ๖ เลม ๑ นี้ จัดทําตาม ผลการเรียนรู กลุมสาระการเรียนรคู ณิตศาสตร (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตร แกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีเน้ือหาสาระ ขอเสนอแนะ เก่ียวกับการสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การวัดผลประเมินผลระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทา ยบทกับจดุ มงุ หมายประจําบท ความรเู พิม่ เติม สําหรับครู ซึ่งเปนความรูท่ีครูควรทราบนอกเหนือจากเน้ือหาในหนังสือเรียน ตัวอยาง แบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซ่ึงสอดคลองกับหนังสือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๖ เลม ๑ ทต่ี องใชค วบคกู ัน สสวท. หวังเปนอยางย่ิงวา คูมือครูเลมน้ีจะเปนประโยชนตอการจัดการเรียนรู และเปนสวนสําคัญในการพัฒนาคุณภาพและมาตรฐานการศึกษากลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร ขอขอบคุณผูทรงคณุ วุฒิ บคุ ลากรทางการศกึ ษา และหนว ยงานตาง ๆ ท่ีมีสว น เก่ียวของในการจดั ทําไว ณ โอกาสน้ี (ศาสตราจารยชกู จิ ลิมปจาํ นงค) ผูอ าํ นวยการสถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คําชแ้ี จง สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดจัดทําผลการ เรียนรูและสาระการเรียนรูเพิ่มเติม กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศกั ราช ๒๕๕๑ โดยมจี ดุ เนนเพ่ือ ตองการพัฒนาผูเรียนใหมีความรูความสามารถทางคณิตศาสตรท่ีทัดเทียมกับนานาชาติ ดวยการลงมือปฏิบัติทํากิจกรรมและแกปญหาท่ีหลากหลายเพ่ือใหผูเรียนเกิดทักษะและ กระบวนการทางคณิตศาสตร รวมท้ังมีทักษะแหงศตวรรษที่ ๒๑ สสวท. จึงไดจัดทําคูมือครู ประกอบการใชหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี ๖ เลม ๑ ท่ีเปนไปตามมาตรฐานหลักสูตร เพื่อเปนแนวทางใหโรงเรียนนําไปจัดการเรียนการสอนใน ชัน้ เรยี น คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๖ เลม ๑ นี้ ประกอบดวย เน้ือหาสาระ ขอเสนอแนะเกี่ยวกับการสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การ วัดผลประเมินผลระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทายบทกับ จุดมุงหมายประจําบท ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครูซ่ึงเปนความรูที่ครูควรทราบนอกเหนือจาก เนื้อหาในหนังสือเรียน ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซ่ึงครูผูสอนสามารถนําไปใชเปนแนวทางในการวางแผนการจัดการเรียนรูใหบรรลุ จุดประสงคที่ตั้งไว โดยสามารถนําไปจัดกิจกรรมการเรียนรูไดตามความเหมาะสมและความ พรอมของโรงเรียน ในการจัดทําคูมือครูเลมน้ี ไดรับความรวมมือเปนอยางดีย่ิงจาก ผูทรงคุณวุฒิ คณาจารย นักวิชาการอิสระ รวมทั้งครูผูสอน นักวิชาการ จากสถาบัน และ สถานศึกษาทั้งภาครัฐและเอกชน จึงขอขอบคณุ มา ณ ทนี่ ้ี สสวท. หวังเปนอยางย่ิงวา คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษา ปท ่ี ๖ เลม ๑ น้ี จะเปน ประโยชนแกผสู อนและผทู ี่เกี่ยวของทุกฝา ย ทีจ่ ะชว ยใหจ ัดการศึกษา ดานคณิตศาสตรไดอยางมีประสิทธิภาพ หากมีขอเสนอแนะใดท่ีจะทําใหคูมือครูเลมน้ี มคี วามสมบูรณย่งิ ขึ้น โปรดแจง สสวท. ทราบดว ย จะขอบคณุ ยง่ิ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

แนะนําการใชค มู อื ครู ในหนังสือเลมนี้แบงเปน 2 บท ตามหนังสือเรียนหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 โดยแตละบทจะมสี วนประกอบ ดงั น้ี ตวั ชี้วัดและสาระการเรยี นรูแกนกลาง ตัวช้ีวัดระบุส่ิงที่นักเรียนพึงรูและปฏิบัติได รวมทั้งคุณลักษณะของผูเรียนในแตละ ระดับช้ัน ซ่ึงสะทอนถึงมาตรฐานการเรียนรู มีความเฉพาะเจาะจงและมีความเปน รปู ธรรม นําไปใชใ นการกาํ หนดเนอ้ื หา จัดทาํ หนว ยการเรียนรู จัดการเรยี นการสอน และ เปน เกณฑสาํ คัญสาํ หรับการวัดประเมนิ ผลเพือ่ ตรวจสอบคณุ ภาพผเู รยี น จุดมุงหมาย เปา หมายท่ีนักเรียนควรไปถึงหลงั จากเรียนจบบทนี้ ความรูก อนหนา ความรูท ่ีนกั เรยี นจาํ เปนตอ งมีกอนท่ีจะเรียนบทนี้

ประเดน็ สําคัญเกย่ี วกบั เนือ้ หาและสิ่งท่ีควรตระหนักเกี่ยวกับการสอน ประเด็นเกี่ยวกับเนื้อหาท่ีครูควรเนนย้ํากับนักเรียน ประเด็นเก่ียวกับเนื้อหาที่ครูควร ระมัดระวัง จุดประสงคของตัวอยางที่นําเสนอในหนังสือเรียน เน้ือหาที่ควรทบทวน กอนสอนเน้อื หาใหม และประเดน็ ท่ีครคู วรตระหนักในการสอน ความเขาใจคลาดเคลอื่ น ประเด็นทนี่ กั เรยี นมักเขา ใจผิดเกีย่ วกบั เนอ้ื หา ประเด็นสําคญั เกีย่ วกับแบบฝกหดั ประเด็นที่ครูควรทราบเกี่ยวกับแบบฝกหัด เชน จุดมุงหมายของแบบฝกหัด เนื้อหาทค่ี วรทบทวนกอ นทําแบบฝก หดั และเร่ืองทีค่ รคู วรใหความสาํ คญั ในการทํา แบบฝกหัดของนักเรยี น กิจกรรมในคมู ือครู กิจกรรมที่คูมือครูเลมนี้เสนอแนะไวใหครูนําไปใชในชั้นเรียน ประกอบดวย กิจกรรมนําเขาสูบทเรียน ท่ีใชเพื่อตรวจสอบความรูกอนหนาที่นักเรียนจําเปนตอง ทราบกอนเรียนเนื้อหาใหม และกิจกรรมท่ีใชสําหรับสรางความคิดรวบยอด ในเน้อื หา โดยหลงั จากทํากจิ กรรมแลว ครูควรเชื่อมโยงผลทีไ่ ดจากการทาํ กจิ กรรม กบั ความคิดรวบยอดที่ตองการเนน ท้งั นี้ ครูควรสงเสริมใหนักเรียนไดลงมือปฏิบัติ กจิ กรรมเหลา นด้ี วยตนเอง

กิจกรรมในหนงั สือเรียน กิจกรรมท่ีนักเรียนสามารถศึกษาเพิ่มเติมไดดวยตนเอง เพื่อชวยพัฒนาทักษะการ เรียนรูและนวัตกรรม (learning and innovation skills) ที่จําเปนสําหรับศตวรรษท่ี 21 อันไดแก การคิดสรางสรรคและนวัตกรรม (creative and innovation) การคิด แบบมีวิจารณญาณและการแกปญหา (critical thinking and problem solving) การส่ือสาร (communication) และการรว มมือ (collaboration) เฉลยกจิ กรรมในหนงั สือเรยี น เฉลยคําตอบหรือตวั อยางคาํ ตอบของกิจกรรมในหนังสือเรยี น แนวทางการจัดกิจกรรมในหนงั สือเรยี น ตัวอยางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน ที่มีขั้นตอนการดําเนินกิจกรรม ซงึ่ เปดโอกาสใหนักเรยี นไดใชแ ละพฒั นาทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร

สารบัญ บทท่ี 1 – 2 บทท่ี เน้ือหา หนา 1 บทท่ี 1 ลาํ ดบั และอนุกรม 1 1.1 เน้อื หาสาระ 3 ลําดบั และอนุกรม 1.2 ขอเสนอแนะเก่ยี วกบั การสอน 12 1.3 การวดั ผลประเมินผลระหวางเรยี น 47 d 49 1.4 การวิเคราะหแบบฝก หัดทายบท 53 2 1.5 ความรูเ พิ่มเติมสําหรบั ครู 71 1.6 ตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท แคลคูลสั เบื้องตน และเฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท บทที่ 2 แคลคลู สั เบอื้ งตน 84 2.1 เนอ้ื หาสาระ 86 2.2 ขอ เสนอแนะเกี่ยวกบั การสอน 98 2.3 แนวทางการจดั กิจกรรมในหนังสอื เรยี น 126 132 2.4 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรียน 134 2.5 การวเิ คราะหแบบฝกหัดทายบท 138 2.6 ความรเู พม่ิ เตมิ สาํ หรับครู 161 2.7 ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท และเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจาํ บท

สารบัญ เนื้อหา หนา บทที่ เฉลยแบบฝกหัดและวธิ ีทําโดยละเอียด 174 บทที่ 1 ลําดับและอนุกรม 174 บทที่ 2 แคลคูลสั เบอื้ งตน 360 1 แหลง เรียนรเู พิ่มเติม 549 1 บรรณานกุ รม 550 552 คณะผจู ัดทาํ

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม 1 คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 บทที่ 1 ลาํ ดับและอนกุ รม ความรูเกย่ี วกับลาํ ดบั และอนุกรมเปนพน้ื ฐานสําคัญทนี่ าํ ไปใชในการแกปญ หาตาง ๆ ในชวี ิตจริง เชน ปริมาณยาที่ลดลงในรางกาย การออมเงิน การผอนคาสินคา ซ่ึงในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ไดนาํ เสนอเน้ือหา เรอื่ ง ความหมายของลําดับและการเขียน แสดงลําดับ ลําดับเลขคณิต ลําดับเรขาคณิต ลําดับฮารมอนิก ลิมิตของลําดับอนันต ความหมายของ อนุกรมและการเขียนแสดงอนุกรม อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมอนันต สัญลักษณ แสดงการบวก การประยกุ ตของลําดบั และอนุกรม โดยเฉพาะอยางย่ิงการประยุกตของลําดับและ อนุกรมในการแกปญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยและมูลคาของเงิน ซึ่งเปนเนื้อหาสําคัญท่ีมีในหลักสูตร กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา ข้นั พนื้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551 ในบทเรียนนี้มุงใหนักเรียนบรรลุตัวช้ีวัดตามสาระการเรียนรูแกนกลาง บรรลุผลการเรียนรูตาม สาระการเรยี นรูเ พม่ิ เตมิ และบรรลจุ ดุ มงุ หมายดังตอไปน้ี ตัวชว้ี ดั และสาระการเรียนรูแกนกลาง/ผลการเรยี นรแู ละสาระการเรยี นรเู พิม่ เติม ตวั ช้ีวดั สาระการเรียนรแู กนกลาง • เขาใจและนําความรเู กีย่ วกับลําดบั • ลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต • อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต และอนุกรมไปใช • ดอกเบีย้ • มลู คา ของเงนิ • เขาใจและใชค วามรูเกี่ยวกับดอกเบ้ีย • คา รายงวด และมูลคาของเงนิ ในการแกปญหา สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 2 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ผลการเรียนรู สาระการเรียนรูเพม่ิ เตมิ • ระบไุ ดว าลําดับทก่ี ําหนดให • ลําดบั จํากดั และลําดับอนันต • ลําดบั เลขคณิตและลาํ ดับเรขาคณิต เปน ลาํ ดับลเู ขาหรือลูออก • ลมิ ิตของลําดบั อนันต • หาผลบวก n พจนแ รกของอนุกรม • อนุกรมจํากดั และอนุกรมอนนั ต • อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต เลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต • ผลบวกอนกุ รมอนนั ต • การนาํ ความรเู กยี่ วกบั ลาํ ดบั และ • หาผลบวกอนกุ รมอนนั ต • เขา ใจและนําความรเู กยี่ วกับลําดับ อนุกรมไปใชในการแกปญหามลู คา ของเงนิ และคา รายงวด และอนุกรมไปใช จดุ มงุ หมาย 1. หาพจนตา ง ๆ ของลําดบั เลขคณิตและลาํ ดับเรขาคณติ 2. หาลมิ ิตของลําดับอนนั ตโดยใชทฤษฎบี ทเก่ยี วกบั ลมิ ติ 3. ระบุไดวา ลาํ ดับที่กาํ หนดใหเปนลําดบั ลูเขาหรือลําดับลูออก 4. หาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณิต 5. หาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต 6. ระบุไดว า อนุกรมท่กี าํ หนดใหเ ปนอนุกรมลูเขาหรืออนกุ รมลอู อก 7. ใชความรูเกี่ยวกับลําดับและอนุกรมในการแกปญหา ความรกู อ นหนา • เลขยกกาํ ลัง • ความสมั พนั ธแ ละฟง กช นั ipst.me/10550 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 3 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 1.1 เน้ือหาสาระ 1. บทนิยาม 1 ลาํ ดบั คือ ฟง กชันที่มีโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, , n} หรอื มโี ดเมนเปนเซตของจาํ นวนเตม็ บวก 2. ในการเขียนแสดงลําดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจเรียงกัน กลาวคือ ถา a เปน ลาํ ดบั ซ=งึ่ a(1) a=1, a(2) a=2, a(3) a3, =, a(n) an แลว เรยี ก a1 วา พจนท ่ี 1 ของลาํ ดับ เรียก a2 วา พจนท ่ี 2 ของลําดบั เรยี ก a3 วา พจนที่ 3 ของลําดับ  และเรยี ก an วา พจนท ่ี n ของลาํ ดับ หรอื พจนท วั่ ไปของลาํ ดบั 3. ลาํ ดับทีม่ โี ดเมนเปน เซต {1, 2, 3, , n} เรยี กวา ลําดบั จํากัด และลาํ ดบั ทมี่ โี ดเมนเปน เซตของจาํ นวนเต็มบวก เรยี กวา ลาํ ดับอนนั ต กรณี a เปน ลาํ ดบั จาํ กัด เขียนแทนลําดับดว ย a1, a2, a3, , an กรณี a เปน ลาํ ดบั อนันต เขยี นแทนลําดับดวย a1, a2, a3, , an,  4. บทนิยาม 2 ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับซึ่งมีผลตางท่ีไดจากการนําพจนที่ n +1 ลบดวยพจนท่ี n เปนคา คงตัวทเี่ ทากัน สําหรบั ทกุ จาํ นวนเต็มบวก n และเรยี กคา คงตัวที่เปน ผลตางน้ีวา ผลตา งรวม จากบทนิยาม ลําดับ a1, a2, a3, , an,  จะเปนลําดับเลขคณิต ก็ตอเม่ือ มีคาคงตัว d ที่ an+1 − an =d สาํ หรับทกุ จํานวนเตม็ บวก n 5. บทนิยาม 3 ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับซ่ึงมีอัตราสวนของพจนท่ี n +1 ตอพจนท่ี n เปนคาคงตัวที่ เทา กัน สําหรบั ทุกจาํ นวนเต็มบวก n และเรยี กคา คงตัวที่เปน อตั ราสวนนวี้ า อัตราสว นรว ม จากบทนิยาม ลําดับ a1, a2, a3, , an,  จะเปนลําดับเรขาคณิต ก็ตอเม่ือ มีคาคงตัว r ท่ี an+1 = r สาํ หรับทุกจํานวนเตม็ บวก n an สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 4 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 6. บทนยิ าม 4 ลําดับฮารมอนิก คือ ลําดับ an ซ่ึงมีสมบัติวา ลําดับของสวนกลับ bn = 1 เปนลําดับ an เลขคณติ 7. บทนยิ าม 5 ให a1, a2, a3, , an,  เปนลําดับอนันต ถา n มากข้ึนโดยไมมีที่สิ้นสุดแลว an เขาใกล หรือเทากับจํานวนจริง L เพียงจํานวนเดียวเทาน้ัน จะเขียน lim an = L (อานวา ลิมิตของ n→∞ ลําดับ an เมื่อ n มากข้ึนโดยไมมีท่ีส้ินสุด เทากับ L ) และจะเรียก L วา ลิมิตของ ลาํ ดับ และกลา ววา ลําดับนีม้ ลี ิมิตเทากบั L เรยี กลาํ ดบั อนันตท ่ีมลี มิ ิตวา ลําดบั ลเู ขา และ เรียกลาํ ดับอนนั ตท ี่ไมใ ชลาํ ดบั ลเู ขาวา ลําดับลูอ อก 8. ทฤษฎบี ท 1 ให r เปนจาํ นวนจรงิ บวก จะไดวา lim 1 =0 และ lim nr ไมม คี า n→∞ nr n→∞ 9. ทฤษฎบี ท 2 ให r เปนจาํ นวนจริง จะไดว า ถา r <1 แลว lim rn = 0 n→∞ ถา r >1 แลว lim rn ไมม ีคา n→∞ 10. ทฤษฎีบท 3 ให an, bn, tn เปนลําดับของจํานวนจริง A, B เปนจํานวนจริง และ c เปนคาคงตัวใด ๆ โดยท่ี lim an = A และ lim bn =B จะไดว า n→∞ n→∞ 1) ถา tn = c ทุกจาํ นวนเต็มบวก n แลว lni→m=∞tn li=m c c n→∞ 2) ln=i→m∞ can c=lni→m∞ an cA ( )3) lim an + bn =lim an + lim bn =A + B n→∞ n→∞ n→∞ ( )4) − =A − lim an − bn =lim an lim bn B n→∞ n→∞ n→∞ ( )5) lim an ⋅ bn = lim an ⋅ lim bn= AB n→∞ n→∞ n→∞ 6) ถา bn ≠ 0 ทุกจํานวนเต็มบวก n และ B ≠ 0 แลว lni→m∞= abnn  ln=i→m∞ an A lim bn B n→∞ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 5 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 11. ทฤษฎบี ท 4 ให a1, a2, a3, , an,  เปนลําดบั ซงึ่ an ≠ 0 สําหรบั ทุกจาํ นวนเตม็ บวก n ถา  1  = 0 แลว ลาํ ดบั a1, a2 , a3, , an ,  จะลอู อก lim  an  n→∞   12. สาํ หรับลาํ ดับที่พจนท ่ัวไปอยใู นรูปเศษสวนของพหนุ าม • ถาดีกรขี องพหนุ ามทีเ่ ปนตวั สวนมากกวาดกี รีของพหนุ ามที่เปนตวั เศษแลว ลําดบั จะมี ลมิ ิตเปน ศนู ย • ถาดีกรีของพหุนามท่ีเปนตัวเศษเทากับดีกรีของพหุนามท่ีเปนตัวสวนแลว ลําดับจะ เปนลําดับลเู ขาท่ีมีลมิ ติ ไมเ ปน ศนู ย • ถาดีกรีของพหุนามท่ีเปนตัวสวนนอยกวาดีกรีของพหุนามที่เปนตัวเศษแลว ลําดับจะ เปน ลาํ ดบั ลูออก 13. ทฤษฎบี ท 5 ให an เปนลําดับของจํานวนจริงที่มากกวาหรือเทากับศูนย L เปนจํานวนจริง และ m เปนจาํ นวนเต็มทีม่ ากกวาหรอื เทา กบั สอง จะไดวา ถา แลวlim an = L lni=→m∞ m an m=lni→m∞ an m L n→∞ 14. ถา a1, a2, a3, , an เปนลําดับจํากัดที่มี n พจน จะเรียกการเขียนแสดงการบวกของ พจนทกุ พจนของลําดบั ในรปู a1 + a2 + a3 ++ an วา อนุกรมจํากดั เรยี ก a1 วา พจนท ี่ 1 ของอนกุ รม เรยี ก a2 วา พจนที่ 2 ของอนกุ รม เรียก a3 วา พจนท ี่ 3 ของอนกุ รม  และเรียก an วา พจนท ่ี n ของอนกุ รม สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 6 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 15. ให Sn แทนผลบวก n พจนแ รกของอนุกรม นัน่ คือ S1 = a1 S=2 a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3  Sn = a1 + a2 + a3 +  + an 16. อนกุ รมที่ไดจ ากลําดบั เลขคณติ เรยี กวา อนุกรมเลขคณติ 17. ให a1, a2, a3, , an เปนลําดับเลขคณิต ซง่ึ มี d เปน ผลตางรว ม ผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณิต คอื =Sn n ( a1 + an ) หรอื S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 2 18. อนกุ รมทไ่ี ดจากลําดับเรขาคณติ เรียกวา อนุกรมเรขาคณิต 19. ให a1, a2, a3, , an เปน ลาํ ดับเรขาคณติ ซ่งึ มี r เปนอตั ราสวนรวม ( )Sn ผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณติ คือ = a1 1− rn เมอ่ื r ≠1 1− r 20. ถา a1, a2, a3, , an,  เปน ลําดับอนันต จะเรียกการเขยี นแสดงการบวกในรปู a1 + a2 + a3 +  + an +  วา อนุกรมอนนั ต เรียก a1 วา พจนท ่ี 1 ของอนกุ รม เรยี ก a2 วา พจนที่ 2 ของอนุกรม  และเรยี ก an วา พจนท่ี n ของอนุกรม สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 7 คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 21. บทนิยาม 6 กาํ หนด a1 + a2 + a3 + + an + เปน อนกุ รมอนันต ให S1 = a1 S=2 a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3  Sn = a1 + a2 + a3 +  + an เรียก Sn วา ผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรม เม่อื n เปน จํานวนเตม็ บวก เรยี กลาํ ดบั อนันต S1, S2, S3, , Sn,  วา ลาํ ดับของผลบวกยอ ยของอนุกรม 22. บทนยิ าม 7 กําหนดอนกุ รมอนันต a1 + a2 + a3 + + an + ให S1, S2, S3, , Sn,  เปน ลําดบั ของผลบวกยอ ยของอนกุ รมน้ี ถา ลาํ ดับ Sn เปนลําดับลเู ขา โดย lim Sn =S เมอื่ S เปน จํานวนจริง n→∞ แลวจะกลาววาอนุกรม a1 + a2 + a3 ++ an + เปน อนุกรมลูเขา และเรียก S วา ผลบวกของอนุกรม ถา ลาํ ดับ Sn เปน ลาํ ดับลูอ อก จะกลา ววา อนกุ รม a1 + a2 + a3 ++ an + เปน อนกุ รม ลอู อก 23. การแสดงวา อนุกรมอนันตใ ดจะเปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ทาํ ไดดงั น้ี 1) พิจารณาลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม และหาสูตรท่ัวไปของผลบวกยอย n พจนแรก (Sn ) ของอนุกรม 2) พิจารณาลิมิตของ Sn ถา lim Sn =S เม่ือ S เปนจํานวนจริง แลวอนุกรมนั้นเปน n→∞ อนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ S แตถา lim Sn ไมมีคา แลวอนุกรมน้ันเปน n→∞ อนกุ รมลอู อก สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนุกรม 8 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 24. ทฤษฎีบท 6 กําหนดใหอ นุกรมเรขาคณิตมี a1 เปนพจนแรก และ r เปนอตั ราสวนรว ม ถา r <1 แลว อนกุ รมนเี้ ปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรมเทากับ a1 1− r ถา r ≥1 แลว อนกุ รมน้เี ปน อนกุ รมลอู อก 25. การเขียนอนุกรมเพื่อความสะดวกจะใชตัวอักษรกรีกตัวพิมพใหญ ∑ (อานวา ซิกมา) เปนสญั ลกั ษณแสดงการบวก กลาวคือ จะเขียนแทนอนุกรมจํากัด a1 + a2 + a3 + + an ดวยสัญลักษณ n ∑ ai i =1 (อานวา ซัมเมชัน ai เมื่อ i เทากับ 1 ถึง n) และเขียนแทนอนุกรมอนันต a1 + a2 + a3 + + an +  ดวยสัญลักษณ ∞ (อานวา ซัมเมชัน ai เมื่อ i เทากับ 1 ∑ ai i =1 ถึง ∞) เรียกตัวแปร i ที่ปรากฏในสัญลักษณ n หรือ ∞ วา ดัชนี ซ่ึงอาจจะใช ∑ ai ∑ ai i=1 i=1 ตัวแปรอ่นื แทน i ได 26. ทฤษฎีบท 7 ให n เปนจาํ นวนเต็มบวกใด ๆ จะไดวา 1) n = nc เม่ือ c เปนคา คงตัว ∑c i =1 2) nn เมื่อ c เปนคาคงตวั ∑cai = c∑ ai =i 1=i 1 n nn 3) ∑(ai + bi )= ∑ ai + ∑bi =i 1 =i 1=i 1 n nn 4) ∑(ai − bi )= ∑ ai − ∑bi =i 1 =i 1=i 1 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม 9 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 27. ทฤษฎบี ท 8 ให n เปน จาํ นวนเต็มบวกใด ๆ จะไดวา 1) n = n(n + 1) ∑i i=1 2 ∑2) n i 2= n(n +1)(2n +1) i=1 6 ∑ ∑==3) in1=i 3 =n (n2+ 1) 2  in1 i 2  28. ทฤษฎบี ท 9 ถาเริม่ ฝากเงินดวยเงินตน P บาท ไดรบั อัตราดอกเบ้ีย i% ตอป โดยคดิ ดอกเบี้ยแบบทบตน ทุกป (ปละครงั้ ) แลว เม่อื สนิ้ ปที่ n จะไดเ งินรวม P(1+ r)n บาท เม่ือ r = i 100 29. ทฤษฎบี ท 10 ถา เรม่ิ ฝากเงินดวยเงนิ ตน P บาท ไดรับอตั ราดอกเบ้ีย i% ตอ ป โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตน ปล ะ k ครง้ั แลวเมอื่ ฝากเงินครบ n ป จะไดเงนิ รวม P 1 + r kn บาท เมือ่ r= i k  100 30. ถาลงทุน P บาท ไดรับอัตราดอกเบ้ีย i% ตอป โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตนปละ k ครั้ง เปนเวลา n ป กาํ หนดให r = i แลว เมือ่ ครบ n ป เงินรวมท่ีได คือ 100 =S P 1 + r kn k  เรยี ก S วามูลคาอนาคตของเงนิ ตน P ในทางกลบั กนั จะเรียก P วามลู คา ปจ จบุ นั ของเงินรวม S ดงั นนั้ มลู คา ปจจุบัน P ของเงินรวม S คือ =P S 1 + r  − kn k  31. การรบั หรอื จายคางวด มีลักษณะ 3 ประการ ดังน้ี 1) รับหรอื จา ยเทากนั ทุกงวด 2) รับหรือจายติดตอ กันทุกงวด 3) รบั หรอื จายตอนตนงวดหรือสนิ้ งวด สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนุกรม 10 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 32. คางวดที่รบั หรอื จา ยตอนตนงวด พิจารณาการรับหรือจายเงินแตละงวด โดยที่แตละงวดเปนเงิน R บาท ซ่ึงเริ่มรับหรือ จายเงินตอนตน งวด รวมท้งั หมด n งวด และอตั ราดอกเบ้ียแตละงวดเปน i% ให r = i 100 จะได แผนภาพแสดงคา งวดแตละงวด ดงั น้ี จะได เงนิ รวมเม่อื ส้นิ งวดท่ี n คอื R(1+ r) + R(1+ r)2 +  + R(1+ r)n ซ่ึงเปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี n พจน โดยพจนแรก คือ R(1+ r) และอัตราสวนรวม คือ 1+ r ดงั นั้น เงนิ รวมเมอ่ื สนิ้ งวดที่ n คอื ( )R(1+ r ) (1+ r )n −1 ซง่ึ เทากับ (1+ r ) −1 ( )R(1+ r ) (1+ r )n −1 r สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนกุ รม 11 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 33. คา งวดทีร่ บั หรือจายตอนส้ินงวด พิจารณาการรับหรอื จายเงนิ แตละงวด โดยท่ีแตละงวดเปนเงิน R บาท ซึง่ เรม่ิ รบั หรือจายเงินตอนสิน้ งวด รวมท้ังหมด n งวด และอตั ราดอกเบย้ี ตอ งวดเปน i% ให r = i 100 จะได แผนภาพแสดงคางวดแตล ะงวด ดังนี้ จะได เงนิ รวมเมื่อสิน้ งวดท่ี n คือ R + R(1+ r) + R(1+ r)2 +  + R(1+ r)n−1 ซ่ึงเปนอนุกรมเรขาคณิตทมี่ ี n พจน พจนแ รก คอื R และอัตราสวนรว ม คอื 1+ r ดงั น้นั เงนิ รวมเมอื่ สิ้นงวดท่ี n คอื ( )R (1+ r )n −1 ซึ่งเทา กับ ( )R (1+ r )n −1 (1+ r ) −1 r สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 12 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 1.2 ขอเสนอแนะเกี่ยวกบั การสอน ลาํ ดบั ความหมายของลาํ ดับ กจิ กรรม : แนะนําลําดบั จุดมงุ หมายของกิจกรรม กิจกรรมน้ีใชเพื่อนําเขาสูบทเรียน เรื่อง ลําดับ เพ่ือใหนักเรียนเขาใจความหมายของ ลําดบั และการเขยี นแสดงลําดบั แนวทางการดําเนนิ กจิ กรรม 1. ครใู หนักเรยี นพิจารณาแบบรูปตอ ไปนี้ โดยสงั เกตจาํ นวนจุดในแตล ะรปู • แบบรปู ชดุ ท่ี 1 รปู ท่ี 1 รปู ที่ 2 รูปที่ 3 รูปที่ 4 รปู ท่ี 5 • แบบรปู ชดุ ท่ี 2 รปู ท่ี 1 รปู ท่ี 2 รปู ที่ 3 รูปที่ 4  สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 13 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 2. ครูใหนักเรียนเขียนเซตของคูอันดบั จากแบบรูปชุดที่ 1 และ 2 โดยใหสมาชิกตัวหนาของ คูอันดับคือรูปท่ี และสมาชิกตัวหลังของคูอันดับคือจํานวนจุดในแตละรูป เชน แบบรูป ชุดท่ี 1 รูปที่ 1 มีจาํ นวนจดุ 1 จุด เขียนไดเปน (1, 1) แนวคาํ ตอบ • เซตของคอู นั ดบั จากแบบรูปชดุ ท่ี 1 คอื {(1, 1), (2, 3), (3, 6), (4, 10), (5, 15)} • เซตของคูอนั ดับจากแบบรูปชุดท่ี 2 คอื {(1, 4), (2, 9), (3, 16), (4, 25), } 3. จากคาํ ตอบทไ่ี ดในขอ 2 ครูใหนักเรียนพจิ ารณาวาเซตของคูอนั ดบั ท่ีไดในขอ 2 ตามแบบ รูปชุดที่ 1 และ 2 เปน ฟง กชนั หรือไม เพราะเหตใุ ด แนวคาํ ตอบ เซตของคูอันดับที่ไดในขอ 2 ตามแบบรูปชุดท่ี 1 และ 2 เปนฟงกชัน เน่ืองจาก สมาชิกตัวหนาของแตล ะคอู นั ดบั จับคกู บั สมาชิกตัวหลงั เพยี งตัวเดียวเทานนั้ 4. จากคําตอบที่ไดในขอ 3 ครูใหนักเรียนหาโดเมนและเรนจของฟงกชันที่ไดจากแบบรูป ชุดที่ 1 และ 2 แนวคําตอบ • ฟงกช นั ท่ีไดจ ากแบบรูปชุดท่ี 1 มโี ดเมน คอื {1, 2, 3, 4, 5} และเรนจ คือ {1, 3, 6, 10, 15} • ฟง กชันที่ไดจากแบบรูปชุดที่ 2 มีโดเมน คือ {1, 2, 3, } และเรนจ คือ {4, 9, 16, } 5. จากคาํ ตอบที่ไดในขอ 4 ครชู แี้ นะใหนกั เรียนสังเกตวา โดเมนของฟง กชนั ท่ีไดจากแบบรูป ชุดที่ 1 เปนสับเซตของเซตของจํานวนเต็มบวก และโดเมนของฟงกชันท่ีไดจากแบบรูป ชุดที่ 2 เปนเซตของจํานวนเตม็ บวก จากนัน้ ครูใหน กั เรียนพิจารณาวา โดเมนของฟง กชัน ท่ไี ดจ ากแบบรูปแตล ะชุดเปนเซตจํากดั หรอื เซตอนันต แนวคาํ ตอบ • โดเมนของฟง กชนั ทไ่ี ดจากแบบรูปชดุ ท่ี 1 เปน เซตจํากัด • โดเมนของฟง กช ันที่ไดจากแบบรปู ชุดท่ี 2 เปนเซตอนันต 6. ครนู าํ เขาสูบ ทนยิ ามของลาํ ดับ (บทนยิ าม 1) และการเขียนแสดงลาํ ดบั สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 14 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ประเด็นสาํ คญั เกย่ี วกบั เน้ือหาและสิง่ ท่คี วรตระหนักเกย่ี วกับการสอน • ครูควรเนนยํ้าใหนักเรียนเขาใจวา ลําดับเปนฟงกชันที่มีโดเมนเปนสับเซตของเซตของ จาํ นวนเตม็ บวกหรอื เซตของจํานวนเต็มบวก โดยในการเขยี นแสดงลําดบั จะเขยี นเฉพาะ สมาชิกของเรนจเรียงกัน และใชเคร่ืองหมายจุลภาค (,) ค่ันระหวางแตละตัว โดยไม เขียนโดเมน • หนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 ใชส ัญลักษณ an แทนท้งั พจนท ี่ n ของลําดับ และพจนทว่ั ไปของลําดบั • การเขียนแสดงลําดับโดยเขียนแจกแจงพจนของลําดับในหัวขอนี้ ตองเขียนพจนทั่วไป กํากับไวเสมอ เนื่องจากมีบางลําดับท่ีมีพจนแรก ๆ เหมือนกัน แตมีพจนท่ัวไปแตกตางกัน เชน เขียนแจกแจงพจนของลาํ ดับที่ an = 1 ไดเปน 1, 1 , 1 ,  n 23 เขยี นแจกแจงพจนของลําดับท่ี bn= 1 (n2 − 6n +11) ไดเปน 1, 1 , 1 ,  6 23 จะเห็นวา ท้ังสองลําดับมีสามพจนแรกเหมือนกัน จึงอาจจะเขาใจผิดวาลําดับ an และ bn เปนลําดับเดียวกัน อยางไรก็ตามเมื่อพิจารณาพจนท่ี 4 จะไดวา a4 = 1 แต b4 = 1 4 2 นั่นคือ ลาํ ดบั an และ bn ไมใชลาํ ดับเดยี วกนั ดังนั้น การเขียนแจกแจงพจนของลําดับ an และ bn โดยเขียนพจนที่ n กํากับไว จะไดเ ปน 1, 1 , 1 , , 1 ,  และ 1, 1 , 1 , , 1 (n2 − 6n +11),  ตามลาํ ดบั 23 n 23 6 • เนื่องจากการกําหนดพจนแรก ๆ แลวใหหาพจนท่ัวไปของลําดับนั้น นักเรียนอาจได พจนท่ัวไปท่ีแตกตางกัน ดังน้ัน หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ัน มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 หัวขอ 1.1.1 จึงกลาวถึงเฉพาะการหาพจนแรก ๆ จากพจน ทั่วไปท่ีกําหนดให โดยไมกลาวถึงการหาพจนท่ัวไปจากพจนแรก ๆ ที่กําหนดให สวน การหาพจนทั่วไปจากพจนแรก ๆ ท่ีกําหนดใหนั้น ไดกลาวถึงเฉพาะในกรณีท่ีศึกษา เก่ยี วกับลําดับเลขคณิตหรอื ลาํ ดบั เรขาคณิตเทาน้นั สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 15 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 • ลาํ ดบั ท่ี an = n + (−1)n n ในตวั อยางท่ี 2 สามารถเขยี นไดใ นอีกรูปแบบหน่ึง คอื เมื่อ เปนจาํ นวนคู เมือ่ เปนจํานวนคี่ ท้ังน้ี ในกรณีทีน่ กั เรยี นมีขอสงสยั สามารถอธิบายไดด งั น้ี ให n เปน จาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ กรณที ่ี n เปน จาํ นวนคูบวก จะไดว า มจี าํ นวนเตม็ บวก k ที่ทาํ ให n = 2k จาก an = n + (−1)n n เม่อื n = 2k จะได an = a2k = 2k + (−1)2k (2k ) = 2k + 2k = 4k = 2(2k ) = 2n กรณีที่ n เปนจาํ นวนคี่บวก จะไดว า มจี ํานวนเตม็ บวก k ท่ีทาํ ให =n 2k −1 จาก an = n + (−1)n n = a2k −1 เมอ่ื =n 2k −1 จะได an = (2k −1) + (−1)2k−1 (2k −1) = (2k −1) − (2k −1) =0 2n เมอ่ื n เปน จํานวนคู ดังนัน้ an = n + (−1)n n เขียนไดใ นรูป an =   0 เมอ่ื n เปน จํานวนคี่ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 16 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 • ลําดับ bn ซ่ึง b1 =1 และ bn = nbn−1 เมื่อ n ≥ 2 ในตัวอยางท่ี 4 สามารถเขียนไดใน อกี รูปแบบหนึง่ คอื bn = n! ทง้ั น้ี ในกรณีที่นักเรียนมขี อสงสัยสามารถอธบิ ายไดดงั นี้ จาก ลาํ ดับ bn ซง่ึ b1 =1 และ bn = nbn−1 เมื่อ n ≥ 2 จะได b1 = 1 = 1! b2 = 2b1 = 2 ×1 = 2! = 3! b3 = 3b2 = 3× 2 ×1 = 4!  b4 = 4b3 = 4 × 3× 2 ×1  bn = nbn−1 = n × (n −1) × (n − 2) ×× 3× 2 ×1 = n! ดังนน้ั ลาํ ดับ bn ซ่งึ b1 =1 และ bn = nbn−1 เมื่อ n ≥ 2 เขยี นไดใ นรูป bn = n! นอกจากนี้ การแสดงวาลาํ ดบั bn สามารถเขียนไดในอีกรปู แบบหนง่ึ คือ bn = n! นัน้ สามารถทําไดโดยใชว ธิ ีอปุ นัยเชิงคณติ ศาสตร ซงึ่ แสดงไวในความรเู พิ่มเตมิ สาํ หรับครู ลาํ ดับเลขคณิต ลําดบั เรขาคณิต และลาํ ดบั ฮารม อนกิ กจิ กรรม : แนะนําลาํ ดบั เลขคณติ จุดมงุ หมายของกิจกรรม กิจกรรมน้ีใชเพื่อนําเขาสูบทเรียน เร่ือง ลําดับเลขคณิต เพ่ือใหนักเรียนเขาใจความหมาย ของลาํ ดบั เลขคณิต แนวทางการดําเนนิ กจิ กรรม 2) 1, 4, 16, 64, , 4n−1 1. ครกู าํ หนดลําดบั ตอไปนี้ 4) 1, −1, 1, −1, 1, , ( )−1 n+1 ,  1) 6, 10, 14, 18, , 4n + 2,  3) 2 , 4 , 2, 8 , , 2 n ( )6) 2, 4, 6, , − 2 n3 − 6n2 − 6 ,  11 33 3 3 5) 10, 6, 2, − 2, , 10 − 4(n −1) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 17 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 2. จากแตละลําดับที่กําหนดใหในขอ 1 ครูใหนักเรียนหาผลตางของพจนที่อยูติดกัน โดย นําพจนท ่ีอยหู ลงั ลบดว ยพจนที่อยูกอ นหนา ทัง้ นี้ ครคู วรเนน ย้ําใหน กั เรยี นหาผลตา งของ พจนท ่ี n และ n −1 ดว ย แนวคําตอบ 1) a2 − a1 = 10 − 6 = 4 a3 − a2 = 14 −10 = 4 a4 − a3 = 18 −14 = 4 และ an − an−1= (4n + 2) − (4(n −1) + 2)= 4 2) a2 − a1 = 4 −1 = 3 a3 − a2 = 16 − 4 = 12 a4 − a3 = 64 −16 = 48 และ ( )an − an−1 = 4n−1 − 4(n−1)−1 = 3 4n−2 3) a2 − a1 = 4 − 2 = 2 3 3 3 a3 − a2 =2 − 4 = 2 3 3 a4 − a3 = 8 −2= 2 3 3 และ an − an−1 = 2 n − 2 (n −1) = 2 3 33 4) a2 − a1 =−1 −1 =−2 a3 − a2 = 1− (−1) = 1+1 = 2 a4 − a3 =−1 −1 =−2 a5 − a4 = 1− (−1) = 1+1 = 2 และ an − an−1 =(−1)n+1 − ( )−1 (n+1)−1 =−2(−1)n 5) a2 − a1 =6 −10 =−4 a3 − a2 =2 − 6 =−4 a4 − a3 =−2 − 2 =−4 และ ( )an − an−1 =(10 − 4(n −1)) − 10 − 4((n −1) −1) =−4 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 18 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 6) a2 − a1 = 4 − 2 = 2 a3 − a2 = 6 − 4 = 2 ( ) ( )และ an − an−1  −2   2  =  11 n3 − 6n2 − 6  −  − 11 (n −1)3 − 6(n −1)2 − 6  ( )= − 2 3n2 −15n + 7 11 3. จากคําตอบท่ีไดในขอ 2 ครูใหนักเรียนพิจารณาวาลําดับในขอใดท่ีมีผลตางของพจนที่ อยตู ิดกนั เปนคาคงตัวทีเ่ ทา กัน แนวคาํ ตอบ ลาํ ดบั ในขอ 1, 3 และ 5 มผี ลตา งของพจนที่อยตู ิดกนั เปน คา คงตัวทเี่ ทากัน 4. ครูนําเขาสูบทนิยามของลําดับเลขคณิต (บทนิยาม 2) โดยจากขอ 3 จะไดวาลําดับในขอ 1, 3 และ 5 ซง่ึ มผี ลตา งของพจนท ี่อยตู ิดกนั เปน คาคงตัวทเ่ี ทากัน เปน ลําดบั เลขคณิต ท้งั น้ี ครคู วรเนน ย้ําความสําคัญของการตรวจสอบผลตางของพจนท่ี n และพจนที่ n −1 ใน การพิจารณาวาลําดับที่กําหนดใหเปนลําดับเลขคณิตหรอื ไม เนื่องจาก อาจมีบางลําดับ ซ่ึงผลตางของพจนท ี่อยูติดกันพจนแรก ๆ เปนคา คงตวั ที่เทากัน แตไ มเทา กับผลตา งของ พจนท ่ี n และ n −1 (เชน ลําดับในขอ ที่ 6) หมายเหตุ • ครูอาจใหน กั เรียนทาํ กจิ กรรมนีเ้ ปนกลุม กลุมละ 3 – 4 คน • ครูสามารถใชกิจกรรมในลักษณะเดียวกับกิจกรรมน้ี เพ่ือนําเขาสูบทเรียน เร่ือง ลําดับ เรขาคณิต เพอ่ื ใหน กั เรียนเขา ใจความหมายของลาํ ดับเรขาคณิต สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 19 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 ประเด็นสําคัญเกย่ี วกบั เนอ้ื หาและส่ิงทีค่ วรตระหนักเก่ยี วกบั การสอน • ลําดับท่ีมีทุกพจนเปนจํานวนเดียวกันท่ีไมเปนศูนย จะเปนทั้งลําดับเลขคณิตที่มี d = 0 และลาํ ดบั เรขาคณติ ท่มี ี r =1 เชน 1, 1, 1,  • ครูควรสนับสนุนใหนักเรียนใหเหตุผลประกอบ ในการระบุวาลําดับท่ีกําหนดใหเปน ลําดับเลขคณติ หรือเปนลําดบั เรขาคณติ • ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนใชเคร่ืองคํานวณชวยในการคํานวณเกี่ยวกับลําดับ เชน ตัวอยา งที่ 14 และ 18 • จากบทนิยาม 4 จะเหน็ วา ไมม ีพจนใ ดของลาํ ดบั ฮารม อนกิ ทเ่ี ปน 0 ประเด็นสําคญั เก่ยี วกับแบบฝกหัด • การหาพจนท ่ีหายไปของลําดับเรขาคณติ ท่ีกําหนดใหในแบบฝกหดั 1.1.3 ขอ 10 ครูควร เนนย้ําใหนักเรียนหาอัตราสวนรวมกอน จึงจะหาพจนที่หายไป และสําหรับขอท่ีมี อัตราสวนรวมมากกวา 1 คา ครูควรกระตุนใหนักเรียนหาอัตราสวนรวมอื่น ๆ ที่ทําให ลําดับท่ีกําหนดใหเปนลําดับเรขาคณิต แลวจึงหาพจนที่หายไปอีกคร้ัง เชน ขอ 2) มี อตั ราสว นรว ม คือ 1 หรอื − 1 ทาํ ใหล ําดับเรขาคณติ ในขอนี้ คือ 2, 2 , 2 , 2 , 2 หรือ 33 3 9 27 81 2, − 2 , 2 , − 2 , 2 3 9 27 81 • เมื่อกําหนดให a เปนพจนท่ีอยูระหวาง 2 พจนที่กําหนดใหในแบบฝกหัด 1.1.3 ขอ 11 จะไดวา a เปนไดท ้ังจาํ นวนจริงบวกและจาํ นวนจริงลบ เนอื่ งจาก a2 เปนจาํ นวนจรงิ บวก สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 20 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 ลิมติ ของลาํ ดับอนนั ต กจิ กรรม : แนะนาํ ลิมิตของลําดับอนันต จุดมุงหมายของกิจกรรม กิจกรรมนี้ใชเพ่ือนําเขาสูบทเรียน เรื่อง ลิมิตของลําดับอนันต เพ่ือใหนักเรียนมีความ เขาใจพน้ื ฐานเกย่ี วกับลมิ ิตของลาํ ดับอนนั ต แนวทางการดาํ เนินกจิ กรรม 1. ครูแจกกระดาษท่ีตัดเปนรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากท่ีมีลักษณะดังรูปใหนักเรียนแตละคน โดย กาํ หนดใหก ระดาษนี้มพี ื้นท่ีเปน 1 ตารางหนวย 2. ครูใหนักเรียนพับคร่ึงกระดาษในขอ 1 ตามแนวนอนไปเร่ือย ๆ จนไดเปน 2, 4, 8 และ 16 สวน ท่ีเทากันตามลําดับ โดยในการพับแตละคร้ัง ใหพิจารณาวาพื้นท่ีของกระดาษ แตละสว นเปน เทาใด แลว เตมิ คําตอบลงในตารางตอไปนี้ การพบั จํานวนสวนของกระดาษ พ้ืนที่ของกระดาษแตละสวน กระดาษคร้ังที่ ทเี่ กิดจากการพับ (ตารางหนว ย) 12 24 38 4 16 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 21 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 แนวคําตอบ พื้นทีข่ องกระดาษแตล ะสว น การพบั จํานวนสวนของกระดาษ (ตารางหนว ย) กระดาษครั้งท่ี ท่ีเกดิ จากการพบั 1 12 2 1 24 4 38 1 4 16 8 1 16 3. จากขอ 2 ครูใหนักเรียนพิจารณาวา หากพับกระดาษตอไปเรื่อย ๆ พื้นที่ของกระดาษ แตละสว นจะเปน อยางไร แนวคําตอบ เม่ือพับกระดาษตอไปเร่ือย ๆ พื้นท่ีของกระดาษแตละสวนจะนอยลงเรื่อย ๆ จน เกอื บเปน 0 4. ครูใหนักเรียนเปดเว็บไซต ipst.me/11545 แลวปฏิบัติตามข้ันตอนและตอบคําถาม ตอไปนี้ 4.1 เล่ือนสไลเดอรเพ่ือปรับคา n สังเกตวาหนาจอจะปรากฏพื้นที่ของกระดาษแตละ สว นทไ่ี ดจากการพบั กระดาษ n ครง้ั 4.2 ตรวจสอบคําตอบในขอ 3 โดยเลอื่ นสไลเดอรเพื่อหาวา เมอ่ื n มีคา มากขึ้นเรื่อย ๆ พืน้ ทีข่ องกระดาษแตละสว นที่ไดจากการพบั กระดาษ n ครงั้ จะเปนอยางไร แนวคาํ ตอบ เมื่อ n มีคามากข้ึนเรื่อย ๆ พ้ืนที่ของกระดาษแตละสวนที่ไดจากการพับ แตล ะครัง้ จะนอยลงเรือ่ ย ๆ จนเกือบเปน 0 แตไ มเ ทากบั 0 5. ครูนําเขาสูบทนิยามเก่ียวกับลิมิตของลําดับอนันต ลําดับลูเขา และลําดับลูออก (บท นิยาม 5) สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 22 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 ประเด็นสาํ คญั เก่ยี วกบั เน้อื หาและสงิ่ ที่ควรตระหนกั เก่ียวกบั การสอน • ในการสอนเก่ียวกับลําดับลูเขาและลําดับลูออก ครูควรจัดกิจกรรมใหนักเรียนไดลงมือ เขียนกราฟของลําดับหลาย ๆ แบบ โดยอาจใชลําดับตามท่ีนําเสนอในหนังสือเรียน รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 หรือในรปู แบบท่ใี กลเคยี งกัน • การเขยี นกราฟเพ่ือพิจารณาลิมติ ของลาํ ดับอนันต ไมมีขอกําหนดที่แนนอนวาตองเขียน กราฟของลาํ ดับกี่พจน แตต องเขียนใหเ หน็ แนวโนมของกราฟ เพื่อใหไ ดขอสรุปวาลําดับ อนนั ตทก่ี ําหนดเปน ลําดบั ลูเขาหรือลาํ ดบั ลอู อก • ทฤษฎบี ททนี่ าํ เสนอไวใ นหนงั สือเรียนรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 บทที่ 1 ลําดับและอนุกรม มีไวเพื่อใหนักเรียนนําไปใชไดโดยไมตองพิสูจน อยางไรกต็ าม ครูอาจเพม่ิ เตมิ การพิสจู นท ฤษฎีบทเหลา นีใ้ หนักเรยี นไดโดยพิจารณาตาม ความสามารถของนักเรยี น • การสอนทฤษฎีบท 1 และ 2 น้ัน ครูควรใหนักเรียนพิจารณาแนวโนมคาของ an เมื่อ n มากขึ้นโดยไมม ีทส่ี น้ิ สุด หรอื เขียนกราฟของลาํ ดับ แลว พจิ ารณาแนวโนมของกราฟ เชน o ใหนักเรียนพิจารณาลําดับที่ an = 1 (ดังแสดงในตัวอยางท่ี 21 ขอ 1) และ n2 an = 1 เพ่ือนําไปสูทฤษฎีบท 1 ที่วา lim 1 = 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริงบวกใด ๆ nr 1 n→∞ n2 1 ทง้ั นี้ นักเรยี นควรสรุปไดวา เมอื่ n มากขนึ้ โดยไมม ีท่ีส้ินสุด n2 และ n2 จะมากขึ้น โดยไมม ที ่ีสิน้ สุดดวย ซึ่งทําให 1 และ 1 มคี า นอ ยลงและเขาใกล 0 n2 1 n2 o ใหนักเรียนพจิ ารณาลาํ ดับ an = n3 (ดงั แสดงในตวั อยางท่ี 21 ขอ 2) และ an 1 = n3 เพื่อนาํ ไปสูท ฤษฎบี ท 1 ที่วา lim nr ไมมคี า เม่ือ r เปนจํานวนจรงิ บวกใด ๆ ทั้งนี้ n→∞ 1 นักเรียนควรสรุปไดวา เมื่อ n มากขึ้นโดยไมมีท่ีส้ินสุด n3 และ n3 จะมากข้ึน โดยไมมีท่สี ้ินสุดดว ย สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนกุ รม 23 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 o ใหนักเรียนพิจารณาลําดับ an =  1 n และ an =  − 1 n (ดังแสดงในตัวอยางที่ 22  3   2  ขอ 1) เพอ่ื นาํ ไปสูทฤษฎีบท 2 ท่ีวา lim rn = 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริง และ r <1 n→∞ o ใหนักเรียนพิจารณาลําดับ an =  − 5 n และ an = 2n (ดังแสดงในตัวอยางท่ี 22  4  ขอ 2 และ 3 ตามลําดับ) เพ่อื นาํ ไปสูทฤษฎีบท 2 ท่ีวา lim rn ไมม ีคา เมือ่ r เปน n→∞ จํานวนจริง และ r >1 • ทฤษฎีบท 2 อธิบายเก่ียวกับลิมิตของลําดับอนันตท่ีอยูในรูป rn เม่ือ r เปนจํานวนจริง และ r ≠1 แตใ นกรณที ี่ r =1 จะไดเปนลิมติ ของคา คงท่ี • เม่ือนักเรียนไดเรียนทฤษฎีบท 2 แลว ครูอาจแสดงใหนักเรียนเห็นวาการหาคาลิมิตของ ลําดับในตวั อยางที่ 22 สอดคลอ งกับทฤษฎบี ท 2 ดงั นี้ จาก จะได1)an = − 1 n lni→m∞=an lim  − 1 n  2   2  n→∞ เนื่องจาก − 1 =1 ซง่ึ 1 <1 22 2 โดยทฤษฎบี ท 2 จะไดว า lim an =0 n→∞ จาก จะได2)an = − 5 n lni→m∞=an lim  − 5 n  4   4  n→∞ เน่อื งจาก − 5 =5 ซงึ่ 5 >1 44 4 โดยทฤษฎบี ท 2 จะไดวา lim an ไมมคี า n→∞ 3) จาก an = 2n จะได lim an = lim 2n n→∞ n→∞ เนื่องจาก 2 = 2 ซึ่ง 2 >1 โดยทฤษฎบี ท 2 จะไดวา lim an ไมมีคา n→∞ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 24 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 • การหาลิมิตของลําดับโดยใชทฤษฎีบท 3 ตองมีเงื่อนไขเบ้ืองตนท่ีเปนจริงกอน เชน จะ ใชทฤษฎีบท lim an = lim an ไดเม่ือ lim an และ lim bn หาคาได และ lim bn ≠ 0 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ bn→∞ lim bn n n→∞ แตถามีเง่ือนไขเบ้ืองตนเง่ือนไขใดไมเปนจริง จะไมสามารถใชทฤษฎีบทดังกลาวได เชน เม่ือตอ งการหา lim 2n2 − 3n จะไมส ามารถใชทฤษฎีบท 3 ได เนือ่ งจาก (lim 2n2 − 3n) n→∞ 4n − 5 n→∞ และ lim(4n − 5) ไมมีคา n→∞ ความเขา ใจคลาดเคลอ่ื น นักเรียนอาจเขาใจผิดเก่ียวกับลําดับลูเขา วาเปนลําดับอนันตที่มีลิมิตของลําดับเปน 0 เทานั้น เพ่ือแกไขความเขาใจผิดดังกลาว ครูควรเนนย้ํานักเรียนเกี่ยวกับบทนิยาม 5 วา ลําดับลูเขา คือ ลําดับอนันตท่ีเมื่อ n มากข้ึนโดยไมมีที่ส้ินสุดแลว an เขาใกลหรือเทากับ จํานวนจริง L เพยี งจาํ นวนเดยี วเทา น้นั พรอมกบั ยกตวั อยางลําดบั ลเู ขา อ่นื ๆ เพม่ิ เติม ทม่ี ี ลิมิตของลําดับเปนจํานวนจริงอ่ืนท่ีไมใช 0 เพ่ิมเติม เชน สําหรับลําดับท=ี่ an  1 n −1  2  จะไดว า lim an = lim   1 n    2  − 1 n→∞ n→∞ = lim  1 n − lim1  2  n→∞ n→∞ = 0–1 = −1 จะเห็นวา ลิมิตของลาํ ดับท=่ี an  1 n −1 เปน −1 น่นั คอื ลําดับน้ีเปน ลําดับลเู ขา  2  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 25 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 อนุกรม กิจกรรม : ผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเลขคณติ จุดมุงหมายของกจิ กรรม กิจกรรมนี้ใชเพ่ือสอนนักเรยี นเก่ียวกบั ท่ีมาของสูตรที่ใชในการหาผลบวก n พจนแรก ของอนกุ รมเลขคณิต แนวทางการดาํ เนินกิจกรรม แนวทางการดําเนินกจิ กรรมแบง เปน 3 สวน ดังนี้ สว นท่ี 1 การแนะนํากลวิธี 1. ครูกระตุนความสนใจของนักเรียนโดยถามนักเรียนวา 1+ 2 + 3 +  +10 มีคาเทาใด และหาไดอ ยางไร 2. ครูอธิบายวิธีการพิสูจนแบบใชรูปภาพเปนหลัก (Proof without word) ในการหาคาของ 1+ 2 + 3 +  +10 2.1 ครูแทนจํานวน 1, 2, 3, , 9 และ 10 ดวยวงกลมสีดําจํานวน 1, 2, 3, , 9 และ 10 รูป ตามลําดับ เรียงตอ กันในแนวเสนตรง ดงั นี้ 1 แทนดวย เรียกวา รูปแทน 1 2 แทนดวย เรียกวา รูปแทน 2 3 แทนดวย เรยี กวา รปู แทน 3 4 แทนดว ย เรยี กวา รปู แทน 4 5 แทนดวย เรยี กวา รปู แทน 5 6 แทนดวย เรยี กวา รปู แทน 6 7 แทนดวย เรยี กวา รูปแทน 7 8 แทนดว ย เรียกวา รูปแทน 8 9 แทนดวย เรียกวา รปู แทน 9 10 แทนดว ย เรยี กวา รูปแทน 10 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 26 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 2.2 ครูใหนักเรียนพิจารณาวาจะหาคาของ 1+ 2 + 3 +  +10 โดยใชรูปแทน 1, 2, 3, , 9 และ 10 ทไ่ี ดในขอ 2.1 ไดอ ยา งไร แนวคําตอบ นักเรียนอาจตอบไดหลายแบบ แตครูตองช้ีแนะวาจะหาคําตอบโดยนํารูป แทน 1, 2, 3, , 9 และ 10 มาวางตอกันดงั นี้ แถวที่ 1 (รปู แทน 1) แถวท่ี 2 (รปู แทน 2) แถวที่ 3 (รูปแทน 3) แถวท่ี 4 (รูปแทน 4) แถวท่ี 5 (รูปแทน 5) แถวท่ี 6 (รูปแทน 6) แถวท่ี 7 (รูปแทน 7) แถวที่ 8 (รปู แทน 8) แถวที่ 9 (รปู แทน 9) แถวที่ 10 (รูปแทน 10) รปู ท่ี 1 จะไดว า • แถวที่ l จะมวี งกลมจาํ นวน l รูป เมอื่ l ∈{1, 2, 3, , 10} • คา ของ 1+ 2 + 3 +  +10 เทา กบั จํานวนวงกลมสีดําในรปู ท่ี 1 2.3 ครูจําลองรูปท่ี 1 โดยเปล่ียนวงกลมสีดําเปนวงกลมสีขาว โดยเรียกวารูปท่ี 2 แลว สอบถามความเขาใจของนักเรียนวาจํานวนวงกลมสีขาวในรูปท่ี 2 สัมพันธกับ จาํ นวนวงกลมสีดาํ ในรูปท่ี 1 อยา งไร สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 27 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 แนวคําตอบ แถวท่ี 1 แถวท่ี 2 แถวที่ 3 แถวท่ี 4 แถวท่ี 5 แถวที่ 6 แถวที่ 7 แถวท่ี 8 แถวท่ี 9 แถวท่ี 10 รปู ที่ 2 จะเห็นวา จํานวนวงกลมสีขาวในรูปท่ี 2 และจํานวนวงกลมสีดําในรูปท่ี 1 มี จาํ นวนเทากัน 2.4 ครหู มุนรูปที่ 2 ดวยมมุ 180 องศา ในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬิกา ไดดังน้ี แถวที่ 10 แถวท่ี 9 แถวท่ี 8 แถวท่ี 7 แถวท่ี 6 แถวท่ี 5 แถวท่ี 4 แถวท่ี 3 แถวที่ 2 แถวที่ 1 รปู ที่ 3 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 28 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 2.5 ครูนาํ รูปที่ 1 และ 3 มาตอกัน โดยนาํ แถวที่ 1 ในรปู ท่ี 1 มาตอ กับแถวที่ 10 ในรูปท่ี 3 ในแนวเสนตรงเดียวกัน โดยเรียกวารูปที่ 4 แลวสอบถามความเขาใจของนักเรียน วาในรปู ที่ 4 มีแถวใดหรือไม • ทีม่ ีวงกลมซอ นทบั กนั • ทมี่ วี งกลมไมเรยี งตอ กนั ในแนวเสนตรง แนวคําตอบ แถวที่ 1 แถวที่ 2 แถวท่ี 3 แถวท่ี 4 แถวท่ี 5 แถวที่ 6 แถวท่ี 7 แถวท่ี 8 แถวที่ 9 แถวที่ 10 รปู ที่ 4 จะไดว า • ไมมีแถวใดท่มี วี งกลมซอนทับกัน • ไมม ีแถวใดที่มวี งกลมไมเรยี งตอกนั ในแนวเสน ตรง หมายเหตุ ครูควรสรปุ วาการตอรูปตามท่ีกําหนดให ทาํ ใหไดร ปู ที่ตอกนั สนิทพอดี ไมมีแถว ใดทมี่ ีวงกลมซอ นทับกัน และไมมแี ถวใดทวี่ งกลมไมเ รยี งตอกันในแนวเสน ตรง สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 29 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 2.6 ครูกระตุนใหนักเรียนพิจารณาวามีวิธใี ดบางท่ีสามารถหาจํานวนวงกลมทั้งหมดใน รูปที่ 4 ได แนวคาํ ตอบ (1) พิจารณาจํานวนวงกลมสีดําและสีขาวในแตละแถวในรูปท่ี 4 ดังน้ันจํานวน วงกลมท้ังหมดในรูปท่ี 4 เทากับผลบวกของจํานวนวงกลมสีดําและสีขาวใน แตละแถวในรูปท่ี 4 (2) เนื่องจากจํานวนวงกลมสีขาวในรูปที่ 3 เทากับจํานวนวงกลมสีดําในรูปที่ 1 และจํานวนวงกลมทั้งหมดในรูปที่ 4 เทากับผลบวกของจํานวนวงกลมสีดํา และสีขาว ดังน้ัน จํานวนวงกลมทั้งหมดในรูปที่ 4 เทากับ 2 เทาของจํานวน วงกลมสดี ําในรูปท่ี 1 หมายเหตุ ครคู วรกระตนุ ใหนกั เรยี นไดคาํ ตอบทั้งในขอ (1) และ (2) 2.7 จากแนวคําตอบ 2.6 (1) ครูใหนกั เรยี นพิจารณาหาจํานวนวงกลมสีดําและสขี าวใน แตละแถวในรปู ท่ี 4 แนวคาํ ตอบ จํานวนวงกลมท้ังหมดในแถวท่ี l หาไดจากจํานวนวงกลมสีดํา (ซ่ึงมาจาก แถวท่ี l ในรปู ท่ี 1) รวมกับจาํ นวนวงกลมสีขาว (ซึ่งมาจากแถวที่ 10 − (l −1) ใน รูปที่ 3) เม่ือ l ∈{1, 2, 3, , 10} เชน จํานวนวงกลมท้ังหมดในแถวท่ี 1 หาไดจาก จํานวนวงกลมสีดํา (ซ่ึงมาจากแถวที่ 1 ในรูปที่ 1) รวมกับจํานวนวงกลมสีขาว (ซึ่ง มาจากแถวที่ 10 − (1−1) ในรูปที่ 3) ไดเปน 1+ (10 − (1−1)) =1+10 =11 รูป 2.8 จากขอ 2.7 ครูใหน ักเรยี นหาจํานวนวงกลมทั้งหมดในรปู ท่ี 4 แนวคาํ ตอบ จาํ นวนวงกลมทั้งหมดในรปู ที่ 4 = (1+10) + (2 + 9) + (3 + 8) ++ (10 +1) = 11+11+11+  +11 = 10 ×11 = 10(10 +1) รูป สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม 30 คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 2.9 จากแนวคําตอบ 2.6 (2) และขอ 2.8 ครูใหนักเรยี นหาจํานวนวงกลมสดี ําในรูปที่ 1 แนวคําตอบ จํานวนวงกลมสดี าํ ในรปู ท่ี 1 เทากบั 10(10 +1) รปู 2 3. จากขอ 2 ครูสรปุ วา 1+ 2 + 3 +  + 10 10 (10 + 1) = 2 สว นที่ 2 การลงมือใชกลวิธี 1. ครูแบง นกั เรียนเปน กลุม กลุมละ 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ 2. ครใู หนักเรยี นแตละกลุมใชวธิ ใี นสวนท่ี 1 ขอ 2 แตละกลุมหา • 1+ 2 + 3 +  +18 +19 + 20 • 1+ 2 + 3 +  + 24 + 25 + 26 • 1+ 2 + 3 +  + 37 + 38 + 39 • 1+ 2 + 3 +  + 48 + 49 + 50 • 1+ 2 + 3 +  + 60 + 61+ 62 แนวคาํ ตอบ เมือ่ ใชวธิ ีในสวนที่ 1 ขอ 2 แลว จะไดว าคําตอบของแตล ะขอ เปนดงั น้ี • 1+ 2 + 3 +  +18 +=19 + 20 20=(20 +1) 210 2 • 1+ 2 + 3 +  + 24 +=25 + 26 26=(26 +1) 351 2 • 1+ 2 + 3 +  + 37 +=38 + 39 39(=39 +1) 780 2 • 1+ 2 + 3 +  + 48 +=49 + 50 50(=50 +1) 1, 275 2 • 1+ 2 + 3 +  + 60 +=61+ 62 62(=62 +1) 1,953 2 3. ครใู หนกั เรียนพิจารณาวาคา 1+ 2 + 3 +  + n เปนเทาใด 4. ครใู หน ักเรยี นดูคลิปวีดทิ ัศนในเวบ็ ไซต ipst.me/11561 5. ครสู รปุ วา 1+ 2 + 3 +  + n =n(n +1) 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 31 คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 สว นท่ี 3 การหาขอสรปุ ในกรณขี องลาํ ดับเลขคณิต 1. ครูกําหนดให a1, a2, a3,, an เปนลําดับเลขคณิตท่ีมีพจนแรก คือ a1 และผลตางรวม คอื d แลวใหนักเรยี นเขยี น a2, a3 และ an ในรปู a1 และ d แนวคําตอบ a=2 a1 + d a=3 a2 + 2d an = a1 + (n −1) d 2. จากขอ 1 ครูใหนักเรียนหาคาของ a1 + a2 + a3 ++ an หรือหาคาของผลบวก n พจนแรกทไี่ ดจ ากลําดับเลขคณติ a1, a2, a3,, an ในรูปของ n, a1 และ an แนวคาํ ตอบ ( )a1 + a2 + a3 ++ an = a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) ++ a1 + (n −1) d n พจน = na1 + (d + 2d + 3d ++ (n −1) d ) (*) (**) = na1 + (1+ 2 + 3 ++ (n −1)) d (***) (n −1)n = na1 + 2 d = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 = n ( a1 + ( a1 + ( n − 1) d )) 2 = n ( a1 + an ) 2 หมายเหตุ • การเขียนบรรทัดท่ี (*) ใหอ ยใู นรปู ตามบรรทัดที่ (**) ครูอาจแนะนําใหน ักเรียน ใชส มบัตกิ ารแจกแจง ซง่ึ จะเห็นวาบรรทดั ที่ (*) มีตวั คณู รวม คือ d • การเขียนบรรทัดท่ี (**) ใหอยูในรูปตามบรรทัดที่ (***) ครูอาจแนะนําให นกั เรยี นใช 1+ 2 + 3 +  + n =n(n +1) ซงึ่ ไดจ ากสวนท่ี 2 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 32 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 3. จากขอ 2 ครอู ธิบายวา จะแทน a1 + a2 + a3 ++ an ดว ยสัญลักษณ Sn จึงสรปุ ไดวา • Sn ในรปู n, a1 และ an เขยี นไดเปน =Sn n ( a1 + an ) 2 • Sn ในรูป n, a1 และ d เขยี นไดเปน S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกับเน้ือหาและสิ่งท่ีควรตระหนกั เก่ียวกบั การสอน ( )Sn • การหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต โดยใช = a1 1− rn เม่ือ r ≠ 1 นั้น 1− r อาจจดั รูปใหมไ ดเปน Sn = ( )a1 rn −1 r −1 • ครูควรเปดโอกาสใหนักเรยี นใชเ ครอ่ื งคาํ นวณชว ยในการคํานวณเกย่ี วกบั อนกุ รม กจิ กรรม : อนุกรมอนันตและผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรมอนนั ต จดุ มุงหมายของกจิ กรรม กจิ กรรมนี้ใชเพอ่ื สอน เรือ่ ง อนุกรมอนนั ตและผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนกุ รมอนนั ต แนวทางการดาํ เนินกิจกรรม 1. ครูแจกกระดาษขนาด A4 ใหนักเรียนแตละคน จากนั้นครูกําหนดใหพ้ืนท่ีทั้งหมดของ กระดาษ เปน 1 ตารางหนวย 2. ครใู หนักเรียนพับครึง่ ตามรูปแลวตัดกระดาษตามรอยพบั ออกเปน 2 สว น สว นท่ี 1 สว นท่ี 2 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนกุ รม 33 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 3. ครูใหนักเรียนหาพ้ืนท่ีของกระดาษแตละสวนที่ไดจากการตัด และเขียนคําตอบท่ีไดลง ในกระดาษสวนท่ี 2 แลว นํากระดาษสว นนใ้ี สไ วในกลอง สวนที่ 1 สว นท่ี 2 4. นํากระดาษสว นท่ี 1 มาทาํ ซา้ํ ตามข้ันตอนในขอที่ 2 และ 3 อกี 4 ครง้ั หมายเหตุ กระดาษที่ไดจากการตัดกระดาษครั้งที่ 2, 3, 4 และ 5 ที่ตองนําไปใสไวใน กลอ ง มพี ้นื ที่ 1 , 1 , 1 และ 1 ตารางหนวย ตามลําดับ 4 8 16 32 5. ครูใหนักเรียนหาวาพ้ืนท่ีของกระดาษสวนที่นําไปใสในกลองหลังจากการตัดครั้งที่ n เทา กบั เทา ใด แนวคําตอบ 1 ตารางหนว ย 2n หมายเหตุ ครูอาจช้ีแนะใหนักเรียนพิจารณาจากพ้ืนท่ีของกระดาษสวนที่นําไปใสใน กลอ งหลังจากการตัดครงั้ ท่ี 1, 2, 3, 4 และ 5 ซง่ึ นักเรียนจะเห็นวา หลงั จากการตดั คร้งั ท่ี พนื้ ท่ขี องกระดาษสว นท่ีนําไปใสกลอง (ตารางหนวย) 1 1= 1 2 21 2 1= 1 4 22 3 1= 1 8 23 4 1=1 16 24 5 1=1 32 25 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม 34 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 6. ครูใหนักเรียนพิจารณาวา ถาการตัดกระดาษในรูปแบบนี้สามารถดําเนินการตอไปได เร่ือย ๆ แลวใหนักเรียนเขียนแสดงพ้ืนที่ของกระดาษสวนที่นําไปใสในกลองหลังจาก การตดั โดยเรยี งตามลําดับการตดั แนวคําตอบ 1, 1, 1, 1, 1 , , 1 ,  2 4 8 16 32 2n หมายเหตุ ในการตอบคําถามขอน้ี ครูควรเนนยํ้าใหนักเรียนเขียนพจนที่ n กํากับไว เสมอ เนื่องจากมบี างลําดับที่มพี จนแรก ๆ เหมอื นกนั แตม พี จนทว่ั ไปแตกตา งกนั 7. ครูสรปุ วา คําตอบท่ีไดใ นขอ 6 เปน ลาํ ดบั อนนั ต 8. ครใู หนักเรียนเติมขอมลู ลงในตารางตอ ไปนใ้ี หส มบรู ณ หลังจากการตัดครง้ั ที่ พนื้ ทรี่ วมของกระดาษท่อี ยูในกลอง (ตารางหนวย) 1 2 3 4 5 แนวคําตอบ พืน้ ทรี่ วมของกระดาษทีอ่ ยใู นกลอง หลงั จากการตัดครงั้ ท่ี (ตารางหนว ย) 11 2 2 1 + 1 =3 244 3 1 + 1 + 1 =7 2488 4 1 + 1 + 1 + 1 =15 2 4 8 16 16 5 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =31 2 4 8 16 32 32 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 35 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 9. ครูใหน กั เรยี นหาพืน้ ที่รวมของกระดาษที่อยใู นกลองหลังจากการตดั คร้ังท่ี n แนวคําตอบ พนื้ ที่รวมของกระดาษทอี่ ยใู นกลองหลงั จากการตดั คร้งั ที่ n เทากับ 1 + 1 + 1 +1 + 1 + + 1 =2n −1 =1 − 1 ตารางหนวย 2 4 8 16 32 2n 2n 2n หมายเหตุ ในการหาคําตอบของขอน้ี ครูควรสนับสนุนใหนักเรียนเขียนพื้นที่รวมของ กระดาษท่ีอยูในกลองหลังจากการตัดคร้ังท่ี n ใหอยูในรูป 2n −1 ได โดยอาจพิจารณา 2n จากแบบรปู ของพนื้ ท่รี วมของกระดาษท่ีอยูในกลองที่ไดในขอ 8 หรือความรอู ื่นกอนหนานี้ สําหรับ 1− 1 มาจากการพิจารณาพ้ืนที่กระดาษทั้งหมดลบดวยพ้ืนท่ีกระดาษ 2n สว นท่ี 1 หลงั จากการตดั ครงั้ ท่ี n 10. จากขอ 9 ครูใหนักเรียนพิจารณาหาพื้นท่ีรวมของกระดาษที่อยูในกลองเมื่อสามารถ ดําเนินการตดั กระดาษตามรปู แบบขางตน ตอไปเรื่อย ๆ ได โดยเขียนในรูปผลบวก แนวคําตอบ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ++ 1 + 2 4 8 16 32 2n 11. ครสู รุปวา • คําตอบทไ่ี ดในขอ 10 ซ่งึ คือ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 + เรียกวา อนุกรม 2 4 8 16 32 2n อนนั ต • คําตอบทีไ่ ดใ นขอ 9 ซ่งึ คือพ้ืนที่รวมของกระดาษท่อี ยูใ นกลองหลังจากการตัดคร้ัง ท่ี n เรียกวา ผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมอนันต แทนดวยสัญลักษณ Sn น่ันคือ Sn = 1 + 1 + 1 +1 + 1 ++ 1 2 4 8 16 32 2n สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 36 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 • คําตอบท่ีไดในขอ 8 จะไดวา พ้ืนที่รวมของกระดาษที่อยูในกลองหลังจากการตัด ครงั้ ที่ 1 คือ S1 ซึง่ เทากับ 1 ในทาํ นองเดียวกนั จะไดว า 2 S2= 1+1 24 S3 = 1 + 1 + 1 2 4 8 S4 = 1 + 1 + 1 + 1 2 4 8 16 S5 = 1 + 1 + 1 +1 + 1 2 4 8 16 32 12. ครูอธบิ ายสรปุ เก่ียวกับอนุกรมอนนั ตและบทนยิ าม 6 ประเดน็ สาํ คญั เกยี่ วกับเน้อื หาและสง่ิ ทคี่ วรตระหนักเกี่ยวกับการสอน ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 การพิจารณาวา อนกุ รมท่ีกําหนดใหเ ปนอนุกรมลูเ ขาหรืออนุกรมลูออก จะทาํ ไดจ ากการพจิ ารณาลําดับของ ผลบวกยอ ยของอนุกรม เชน การพิจารณาอนุกรม 1+1+1+  +1n−1 +  ทําไดดังนี้ จากสูตร =Sn n ( a1 + an ) 2 จะได Sn = n (1+1)= n 2 นนั่ คอื lim Sn = lim n n→∞ n→∞ จากทฤษฎบี ท 1 จะได lim n ไมมีคา n→∞ ดงั นนั้ อนุกรม 1+1+1+  +1n−1 +  เปน อนกุ รมลูอ อก สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 37 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 ความเขาใจคลาดเคล่อื น นักเรียนอาจเขาใจผิดวา “ทุกอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิตเปนอนุกรมลูออก” ทั้งน้ี ครูควรยกตัวอยางอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิต แตเปนอนุกรมลูเขา เชน อนุกรม เลขคณติ ท่มี ี=a1 0=, d 0 จะไดวา Sn = 0 ดงั นั้น lim Sn =0 n→∞ ประเดน็ สําคัญเก่ยี วกบั แบบฝก หัด จากแบบฝก หัด 1.3.3 ขอ 1 • ในการสรุปวาอนุกรมที่กําหนดใหเปนอนุกรมเลขคณิตหรืออนุกรมเรขาคณิตน้ัน ครู ควรเนนยํ้าใหนักเรียนตรวจสอบวาพจนที่ n ในอนุกรมท่ีกําหนดให เปนพจนที่ n ของอนุกรมเลขคณิตหรืออนุกรมเรขาคณิตจริง เชน จากขอ 4) จะไดวาเปนอนุกรม เลขคณิตที่มี a1 = 2 และ d = −3 จะเห็นวาพจนที่ n ของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 2 + (n −1)(−3) =5 − 3n ซึ่งเทากับพจนท่ี n ในอนุกรมทีโ่ จทยก ําหนด • ในการหาลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมที่กําหนดให ครูอาจใหนักเรียน เปรียบเทียบ S1, S2 และ S3 ที่หาไดจากผลบวก 1, 2 และ 3 พจนแรกของอนุกรมท่ี กาํ หนด กับทห่ี าไดจากสตู รการหาผลบวกยอย n พจนแรกของอนกุ รม สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 38 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 สญั ลกั ษณแสดงการบวก ประเดน็ สาํ คญั เกี่ยวกบั เน้ือหาและสงิ่ ทีค่ วรตระหนกั เกีย่ วกบั การสอน • ครอู าจแนะนาํ สญั ลกั ษณ ∑ ไปพรอมกบั การสอน เรอื่ ง อนกุ รมอนันต ไดเ ลย หากพจิ ารณา แลว วา สอดคลอ งกบั แนวทางการจัดการเรียนรทู ีป่ ฏบิ ตั อิ ยู • การเขียนแสดงการบวกดวยสัญลักษณ ∑ อาจเขียนไดหลายรูปแบบ โดยดัชนีไมจําเปน ตองเร่ิมจาก 1 เชน ในตัวอยางที่ 51 นอกจากเขียนแสดง 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 +10x5 ไ ด เ ป น 5 แ ล ว อ า จ เ ขี ย น ไ ด เ ป น แ บ บ อื่ น ท่ี ดั ช นี ไ ม เ ร่ิ ม จ า ก 1 เ ช น ∑ 2ixi i =1 6 หรือ 7 ∑ 2(i −1) xi−1 ∑ 2(i − 2) xi−2 i=2 i=3 • การจดั รูป 4 ในตัวอยา งท่ี 60 ทําไดดงั นี้ (4i − 3)(4i +1) ให ( 4i − 4 4i=+ 1) A+B นน่ั คือ =4 A(4i +1) + B (4i − 3) 4i − 3 4i + 1 3)( เมื่อ i = 3 จะได A =1 4 เม่ือ i = − 1 จะได B = −1 4 ดงั น้ัน ( 4i − 4 4i=+ 1) 1 −1 4i − 3 4i + 1 3)( เรียกการจัดรปู โดยวธิ ีนี้วาการแยกเศษสว นยอ ย (Partial fraction decomposition) ประเด็นสําคญั เกยี่ วกับแบบฝกหัด การหาผลบวก n พจนแ รก และผลบวก 20 พจนแ รกของอนกุ รมท่กี ําหนดใหในแบบฝกหัด 1.4 ขอ 8 นัน้ นกั เรยี นอาจจัดรปู อนุกรมท่กี ําหนดใหในทํานองเดียวกับตวั อยางที่ 60 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

Toplist

โพสต์ล่าสุด

แท็ก

แปลภาษาไทย ไทยแปลอังกฤษ แปลภาษาอังกฤษเป็นไทย pantip โปรแกรม-แปล-ภาษา-อังกฤษ พร้อม-คำ-อ่าน อาจารย์ ตจต ศัพท์ทหาร ภาษาอังกฤษ pdf lmyour แปลภาษา ชขภใ ห่อหมกฮวกไปฝากป้าmv กรมพัฒนาฝีมือแรงงาน อบรมฟรี 2566 ขขขขบบบยข ่ส ศัพท์ทางทหาร military words หนังสือราชการ ตัวอย่าง หยน แปลบาลีเป็นไทย ไทยแปลอังกฤษ ประโยค การไฟฟ้านครหลวง การไฟฟ้าส่วนภูมิภาค ข้อสอบโอเน็ต ม.3 ออกเรื่องอะไรบ้าง พจนานุกรมศัพท์ทหาร เมอร์ซี่ อาร์สยาม ล่าสุด แปลภาษามลายู ยาวี Bahasa Thailand กรมพัฒนาฝีมือแรงงาน อบรมออนไลน์ การ์ดจอมือสอง ข้อสอบคณิตศาสตร์ พร้อมเฉลย คะแนน o-net โรงเรียน ค้นหา ประวัติ นามสกุล บทที่ 1 ที่มาและความสําคัญของปัญหา ร. ต จ แบบฝึกหัดเคมี ม.5 พร้อมเฉลย แปลภาษาอาหรับ-ไทย ใบรับรอง กรมพัฒนาฝีมือแรงงาน PEA Life login Terjemahan บบบย มือปราบผีพันธุ์ซาตาน ภาค2 สรุปการบริหารทรัพยากรมนุษย์ pdf สอบโอเน็ต ม.3 จําเป็นไหม เช็คยอดค่าไฟฟ้า แจ้งไฟฟ้าดับ แปลภาษา มาเลเซีย ไทย แผนที่ทวีปอเมริกาเหนือ ่้แปลภาษา Google Translate กระบวนการบริหารทรัพยากรมนุษย์ 8 ขั้นตอน ก่อนจะนิ่งก็ต้องกลิ้งมาก่อน เนื้อเพลง ข้อสอบโอเน็ตม.3 มีกี่ข้อ คะแนนโอเน็ต 65 ตม กรุงเทพ มีที่ไหนบ้าง