โจทย์จํานวนจริง ม.4 พร้อมเฉลย

จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, – √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265…

2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น  เขียนแทนด้วย 0.5000…  เขียนแทนด้วย 0.2000…      • ระบบจำนวนตรรกยะจำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม   • ระบบจำนวนเต็มจำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน 1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่
I – = {…, -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่
I+ = {1, 2, 3, 4, …}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกจำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
N = I+ = {1, 2, 3, 4, …} • ระบบจำนวนเชิงซ้อนนอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้ x2 = -1∴ x = √-1 = i x2 = -2∴ x = √-2 = √2 i x2 = -3∴ x = √-3 = √3 iจะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า “หนึ่งหน่วยจินตภาพ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ iยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ ” เซตจำนวนเชิงซ้อน ” (Complex numbers)

 

สมบัติของจำนวนจริง

 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ1. สมบัติการสะท้อน a = a2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc • สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริงกำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + aนั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริงกำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 06. สมบัติการแจกแจงa( b + c ) = ab + ac( b + c )a = ba + caจากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้  ทฤษฎีบทที่ 1กฎการตัดออกสำหรับการบวก เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c  ทฤษฎีบทที่ 2กฎการตัดออกสำหรับการคูณ เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c  ทฤษฎีบทที่ 3เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ a · 0 = 0 0 · a = 0  ทฤษฎีบทที่ 4เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ (-1)a = -a a(-1) = -a  ทฤษฎีบทที่ 5เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0  ทฤษฎีบทที่ 6เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab  เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น  • การลบจำนวนจริง  บทนิยามเมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ a- b = a + (-b) นั่นคือ a – b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b  • การหารจำนวนจริง  บทนิยามเมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0  = a(b-1) นั่นคือ คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

 

การแก้สมการตัวแปรเดียว

บทนิยามสมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า “สมการพหุนามกำลัง n”  ตัวอย่างเช่นx3 – 2×2 + 3x -4 = 0 4×2 + 4x +1 = 0 2×4 -5×3 -x2 +3x -1 = 0  • การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ  ทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c) นั่นคือ เศษของ คือ f(c)  ทฤษฎีบทตัวประกอบ เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 พหุนาม f(x) นี้จะมี x – c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0 ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0 แสดงว่า x – c หาร f(c) ได้ลงตัว นั่นคือ x – c เป็นตัวประกอบของ f(x)  ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม

 

สมบัติของการไม่เท่ากัน

บทนิยามa < b หมายถึง a น้อยกว่า b a > b หมายถึง a มากกว่า b   • สมบัติของการไม่เท่ากัน กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ 1.สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c 2.สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c 3.จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ  a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0  a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0 4.สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์  ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc  ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc 5.สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b 6.สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ  ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b  ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b   บทนิยามa ≤ bหมายถึงa น้อยกว่าหรือเท่ากับ ba ≥ bหมายถึงa มากกว่าหรือเท่ากับ ba < b < cหมายถึงa < b และ b < ca ≤ b ≤ cหมายถึงa ≤ b และ b ≤ c

 

ช่วงของจำนวนจริงและการแก้อสมการ

  กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b 1. ช่วงเปิด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b }     2. ช่วงปิด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }     3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b }     4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b }     5. ช่วง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a}     6. ช่วง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a}     7. ช่วง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a}     8. ช่วง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}    • การแก้อสมการ อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง   หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น 1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c 2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc ตัวอย่างที่ 1จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12วิธีทำ x + 3>12 ∴x + 3 + (-3)>12 + (-3)  x>9 ∴เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞) ตัวอย่างที่ 2จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9วิธีทำ 2x + 1<9 ∴2x + 1 + (-1)<9 + (-1)  2x<8   (2x)< (8)  x<4 ∴เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4) ตัวอย่างที่ 3จงหาเซตคำตอบของ 4x – 5 ≤ 2x + 5วิธีทำ 4x – 5≤2x + 5  4x – 5 + 5≤2x + 5 + 5  4x≤2x + 10  4x – 2x≤2x + 10 – 2x  2x≤10   (2x)≤ (10)  x≤5 ∴เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]  หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0 2. ถ้า = 0 แล้ว จะได้ a = 0 3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0 6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0 7. ถ้า > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 8. ถ้า < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 9. ถ้า ≥ 0 แล้ว จะได้ > 0 หรือ = 0 10. ถ้า ≤ 0 แล้ว จะได้ < 0 หรือ = 0 ตัวอย่างที่ 4จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0วิธีทำ ถ้า (x – 3)(x – 4)>0 แล้วจะได้  x – 3>0 และ x – 4 > 0                            x>3 และ x > 4   ∴เมื่อ x – 3>0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4  หรือ x – 3<0 และ x – 4 < 0                            x<3 และ x < 4   ∴                     x – 3<0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3 นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0 คือ { x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )ตัวอย่างที่ 5จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0วิธีทำ ถ้า (x – 3)(x – 4)<0 แล้วจะได้                    x – 3>0 และ x – 4 < 0                         x>3 และ x < 4   ∴เมื่อ x – 3>0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4  หรือ x – 3<0 และ x – 4 > 0  x<3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้   ∴ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x – 3 < 0 และ x – 4 > 0 นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0 คือ { x | 3 < x < 4 } = (3, 4)——————————————————————-จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมกาีได้ดังนี้กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว1. ถ้า (x – a)(x – b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b2. ถ้า (x – a)(x – b) < 0 จะได้ a < x < b3. ถ้า (x – a)(x – b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b4. ถ้า (x – a)(x – b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b5. ถ้า > 0 จะได้ x < a หรือ x > b6. ถ้า < 0 จะได้ a < x < b7. ถ้า ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b8. ถ้า ≤ 0 จะได้ a ≤ x < bหรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้ 

 

ค่าสัมบูรณ์

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง  นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ • สมบัติของค่าสัมบูรณ์ 1. |x| = |-x| 

2. |xy| = |x||y|

 3. | x – y | = | y – x | 4. |x|2 = x2 5. | x + y | ≤ |x| +|y| 6. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก 7.|x| < a หมายถึง -a < x < a    |x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a   8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a |x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ aโจทย์แบบฝึกหัดเรื่อง จำนวนจริง (Real number)

โครงสร้างของระบบจำนวน

จำนวนเชิงซ้อน ( Complex Number )

• จำนวนจินตภาพ
•  จำนวนจริง
  • จำนวนอตรรกยะ
  • จำนวนตรรกยะ
    • จำนวนเต็ม
      • จำนวนเต็มลบ
      • จำนวนเต็มศูนย์
      • จำนวนเต็มบวก
    • ไม่เป็นจำนวนเต็ม

ส่วนประกอบของจำนวนจริง

จำนวนจริง ( Real Number ) จะประกอบไปด้วย 

1. จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้
2. จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้

 

จำนวนตรรกยะ ( RATIONAL NUMBER )

จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่า จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ซึ่งจำนวนตรรกยะนั้น จะมีส่วนประกอบอยู่ด้วยกัน 2 ส่วน คือ 

1. จำนวนเต็ม
2. ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

ซึ่งทั้งสองส่วนก็ยังมีส่วนย่อยลงไปได้อีก ส่วนตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนได้ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนที่มีทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนได้นั้น จะถือเป็นจำนวนอตรรกยะโดยทันที

 

จำนวนตรรกยะที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

เช่นเดียวกัน จำนวนตรรกยะก็มีส่วนที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ดังนี้

1. เศษส่วน
2. ทศนิยมซ้ำ

ซึ่งในหัวข้อนี้จะไม่ได้พูดถึงเศษส่วนและทศนิยมซ้ำอย่างละเอียด ถ้าต้องการศึกษาเพิ่มเติม สามารถเข้าไปศึกษาได้

 

 

จำนวนเต็ม ( INTEGER ) 

จากหัวข้อก่อนหน้านี้ จำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ ซึ่งในจำนวนเต็มก็ยังสามารถแบ่งส่วนย่อยลงไปได้อีกเป็น

1. จำนวนเต็มบวก
2. จำนวนเต็มลบ
3. จำนวนเต็มศูนย์

ข้อควรรู้ :

• ไม่มีจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด
• ไม่มีจำนวนเต็มลบที่่น้อยที่สุด
•  0 ไม่ใช่ทั้งจำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มลบ 
• จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด คือ 1
• จำนวนเต็มลบที่มากที่สุด คือ -1

ประเภทของจำนวน

1. จำนวนคู่ ( Even Number ) : คือ จำนวนที่ 2 สามารถหารได้ลงตัว
2. จำนวนคี่ ( Odd Number ) : คือจำนวนที่ 2 ไม่สามารถหารได้ลงตัว
3. จำนวนเฉพาะ ( Prime Number ) : คือ จำนวนนับที่มีตัวหารที่เป็นจำนวนบวกเพียง 2 ตัว คือ 1 และ ตัวมันเองเท่านั้น
4. จำนวนประกอบ ( Composite Number ) คือ จำนวนนับที่เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป

 

 

สมบัติของจำนวนจริง

กำหนดให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ

1. สมบัติการบวกในจำนวนจริง

• สมบัติปิดการบวก

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ a + b จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง

• สมบัติการสลับที่การบวก

a + b = b + a

• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก  

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

• การมีเอกลักษณ์การบวก

0 + a = a + 0 = a

• การมีอินเวอร์สการบวก 

a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0

2.  สมบัติการคูณในจำนวนจริง

• สมบัติปิดการคูณ

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว ab จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง

• สมบัติการสลับที่การคูณ

ab = ba

• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ

a × ( bc ) = ( ab ) × c

• การมีเอกลักษณ์การคูณ

1 × a = a × 1 = a

• การมีอินเวอร์สการคูณ

a × ( 1/a ) =  ( 1/a ) × a = 1  

สมบัติการแจกแจง

a ( b+c  ) = ab + ac

1.จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, – √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265…