“ตรรกศาสตร์” คือระบบวิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิดและการให้เหตุผล ใช้เป็นเครื่องมือในการเข้าถึงหลักปรัชญาต่างๆ และเป็นพื้นฐานในหลายๆสาขาวิชา และสำหรับวิชาคณิตศาสตร์ น้องๆจะได้เรียนตรรกศาสตร์ในเป็นรูปแบบและกฎเกณฑ์ีการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Logic) ไม่ว่าจะเป็น “และ” “หรือ” “ถ้า..แล้ว” “ก็ต่อเมื่อ” และนิเสธ นอกจากนี้ หลักตรรกศาสตร์จะใช้สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ และนำไปใช้ต่อยอดในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ สร้างเป็นพีชคณิตในทางดิจิตอล ฯลฯ Show ในวิชาคณิตศาสตร์ เราจะได้เริ่มทำความรู้จักกับ “ตรรกศาสตร์” ในชั้นม. 4 ตั้งแต่เทอมแรกกันเลย เนื้อหาที่เรียนจะเกี่ยวกับประพจน์ การเชื่อมประพจน์ รวมไปถึงการหาค่าความจริงของประพจน์ สมมูลและนิเสธของประพจน์ สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล สุดท้ายเราจะได้เรียนเรื่องตัวบ่งปริมาณและประโยคเปิดว่ามีรูปแบบและลักษณะเป็นอย่างไรด้วย ประพจน์“ประพจน์” คือ ประโยคหรือข้อความบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์ ดาวเสาร์เป็นดาวเคราะห์ (จริง) เขื่อนลำตะคองไม่ได้อยู่ในจังหวัดกรุงเทพฯ (จริง) 8 ไม่เท่ากับ 3 (จริง) 15 – 8 > 20 (เท็จ) 2 เป็นจำนวนตรรกยะ (เท็จ) ( รอใส่ root ) ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ 100 บวก 20 มีค่าเท่าไหร่ (ประโยคคำถาม) จงเขียนประโยคบอกเล่า (ประโยคคำสั่ง) โปรดอย่าเดินลัดสนาม (ข้อความขอร้อง) ให้อภัยฉันด้วยเถิด (ข้อความอ้อนวอน) อยากกินเค้กอร่อยๆ (ข้อความแสดงความปรารถนา) ว้าว สวยจัง (คำอุทาน) ไก่ได้พลอย (สุภาษิตคำพังเพย) เธอเป็นนักกีฬา (ประโยคเปิด) เรานิยมใช้สัญลักษณ์ p, q, r, s หรือตัวอักษรภาษาอังกฤษอื่นๆ แทนประพจน์ การแจกแจงความจริงของประพจน์ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ใช้สัญลักษณ์ T ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ใช้สัญลักษณ์ F ถ้าโจทย์ไม่ได้กำหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยๆมาให้ เราต้องแจกแจงค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากประพจน์ย่อยๆ นั้น เราเรียกวิธีนี้ว่า “การแจกแจงความจริง” หรือ “การหาค่าความจริงของประพจน์” ซึ่งวิธีที่นิยมในมากที่สุดคือ การสร้างตารางค่าความจริง เราสามารถหาจำนวนวิธีแจกแจงได้โดยใช้สูตร จำนวนวิธีแจกแจง = 2n โดยให้ n คือจำนวนของประพจน์ เช่น ถ้ามีประพจน์ 5 ประพจน์ จะเขียนแจกแจงความจริงได้ 25 = 32 แบบ การเชื่อมประพจน์ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราจะเรียกประพจน์ใหม่นี้ว่า “ประพจน์เชิงประกอบ” ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว ได้แก่ ตัวเชื่อม “และ” ใช้สัญลักษณ์ คือ ” ∧ “ ตัวเชื่อม “หรือ” ใช้สัญลักษณ์ คือ ” ∨ “ ตัวเชื่อม “ถ้า… แล้ว…” ใช้สัญลักษณ์ คือ ” → “ ตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์ คือ ” ↔ “ ตัวเชื่อม “นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย ” ~ “ ตารางค่าความจริงของตัวเชื่อมแบบต่างๆ จากตารางสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้
ข้อควรระวังในการหาค่าความจริงของประพจน์
ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงทุกกรณีที่เป็นไปได้ของประพจน์ p → (q ∧ s) วิธีทำ ประพจน์ p → (q ∧ s) มีประพจน์ย่อย คือ p, q และ s ดังนั้นจำนวนวิธีที่แจกแจงได้ทั้งหมด คือ 23 = 8 แบบ และสร้างตารางได้ดังนี้ เทคนิคการสร้างตารางแจกแจงความจริง
ประพจน์ที่สมมูลกันประพจน์สองรูปแบบจะสมมูลกันได้ ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี และสามารถนำไปใช้แทนกันได้ โดยใช้สัญลักษณ์ “ ≡ ” แทนคำว่าสมมูล การตรวจสอบว่าประพจน์สมมูลกันหรือไม่ สามารถทำได้ 2 วิธี คือ การใช้ตารางแจกแจงความจริง หรือ การใช้สมบัติสมมูลของประพจน์ สมบัติการสมมูลมีรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันหลายรูปแบบ ดังต่อไปนี้
p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p p ↔ q ≡ q ↔ p
p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r p ↔ ( q ↔ r ) ≡ ( p ↔ q ) ↔ r ≡ p ↔ q ↔ r
p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r ) p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r ) ( p ∨ q ) → r ≡ ( p → r ) ∧ ( p → r ) ( p ∧ q ) → r ≡ ( p → r ) ∨ ( p → r )
p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q
p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p )
~(~p) ≡ p ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q ~(p → q) ≡ p ∧ ~q ~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q
p ∧ p ≡ p p ∧ T ≡ p p ∧ F ≡ F p ∧ ~p ≡ F p ∨ p ≡ p p ∨ T ≡ T p ∨ F ≡ p p ∨ ~p ≡ T p → F ≡ ~p F → p ≡ T p → T ≡ T T → P ≡ P P ↔ P ≡ T P ↔ ∼P ≡ F สัจนิรันดร์“สัจนิรันดร์” คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี มีวิธีการตรวจสอบ 3 วิธี ได้แก่
การอ้างเหตุผล“การอ้างเหตุผล” คือ การตรวจสอบว่าข้อความที่กำหนดให้ชุดหนึ่ง แล้วทำให้เกิดข้อความอีกชุดนั้น สมเหตุสมผลหรือไม่ หรือ การหาผลสรุปจากเหตุที่กำหนดให้นั่นเอง การอ้างเหตุผล ประกอบด้วย
1. นำเหตุมาเชื่อมกันด้วย ∧ และนำ → มาเชื่อมกับผล หลังจากนั้นให้ตรวจว่าเป็นสัจนิรันดร์ (P1∧P2∧P3∧…∧Pn) → Q หากเป็นสัจนิรันดร์แสดงว่าการอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid) หาไม่เป็นสัจนิรันดร์แสดงว่าการอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) 2. ให้เหตุทุกข้อเป็นจริง (T) หาค่าความจริงและไปแทนในผล ถ้าผล เป็นจริง (T) แสดงว่า สมเหตุสมผล ถ้าผล เป็นเท็จ (F) แสดงว่า ไม่สมเหตุสมผล 3. ใช้รูปแบบที่มีการพิสูจน์แล้วว่าสมเหตุสมผล ประโยคเปิด“ประโยคเปิด” คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร เมื่อแทนค่าตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วประโยคเปิดนั้นจะเป็นประพจน์ เช่น “เธอใส่เสื้อสีเขียว” เป็นประโยคเปิด เพราะมีคำว่า “เธอ” เป็นตัวแปร ไม่ระบุว่าใคร หากเปลี่ยนเป็น “มาลีใส่เสื้อสีเขียว” ประโยคนี้จะเป็นประพจน์เพราะระบุตัวแปรเรียบร้อยแล้ว “a เป็นจำนวนคู่” เป็นประโยคปเปิด เพราะมีตัวแปร “a” ถ้าแทนค่า a = 8 ประโยคจะเปลี่ยนเป็น “8 เป็นจำนวนคู่” ประโยคนี้จึงกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณ“ตัวบ่งปริมาณ” คือ ข้อความที่บอกจำนวนของตัวแปรในประโยคเปิดว่ามีมากน้อยแค่ไหน มี 2 ประเภท คือ
เช่น สำหรับ x ทุกตัวซึ่ง x+5=4 เขียนแทนด้วย ∀x[x+5=4]
เช่น มี x อย่างน้อยหนึ่งตัว ซึ่ง 2x-3 < -1 เขียนแทนด้วย ∃x[2x-3 < -1] เนื้อหา “ตรรกศาสตร์” ในชั้นม.4 เทอม 1 ที่น้องๆจะต้องเรียนก็มีประมาณนี้ อาจจะต้องใช้เวลาในการทำเข้าใจอยู่บ้าง แต่พี่เชื่อว่าไม่น่าจะยากเกินไปถ้าเราขยันและตั้งใจ หรือถ้าน้องคนไหนยังรู้สึกว่าอ่านยังไงก็ยังไม่เข้าใจ ยังอยากได้คอร์สเรียนเพื่อปูพื้นฐานให้แน่นขึ้น หรือจะเป็นคอร์สเรียนตรรกะศาสตร์แบบตะลุยโจทย์ไปพร้อมกัน ทาง At Home ก็คัดสรรคอร์สเรียนมากมายมาให้เลือก แอบกระซิบว่ามีคอร์สเรียนฟรีด้วยนะ ไปลุยกันได้เลย |