เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทั้งหมด เรียกว่าอะไร

เมื่อพิจารณาจำนวนนับสองจำนวน เช่น 2 กับ 8 เราอาจกล่าวได้ว่าจำนวนทั้งสองนี้เกี่ยวข้องกันโดย “2 มีค่าน้อยกว่า 8” หรือ “2 เป็นรากที่สามของ 8” คำว่า “น้อยกว่า” หรือ “เป็นรากที่สาม” คือคำที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนทั้งสองนี้ได้ ดังนั้น ความสัมพันธ์ในทางคณิตศาสตร์จึงเกิดจากสิ่งสองสิ่งที่เกี่ยวข้องกันภายใต้กฎเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่ง เราจึงสามารถใช้คู่อันดับแสดงความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังได้

นิยามความสัมพันธ์

คือ เซตของคู่อันดับซึ่งเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเซต 2 เซต

ตัวอย่างที่1  กำหนดให้   และ 

ถ้าให้เป็นความสัมพันธ์ “เป็นสองเท่า” จากเซตไปยังเซต  จะได้

ซึ่งในการเขียนแสดงความสัมพันธ์จะเขียนแบบแจกแจงสมาชิกหรือแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ ความสัมพันธ์  จึงสามารถเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้

ในกรณีที่เซตและเซต เป็นเซตของจำนวนจริง เราจะสามารถเขียนเซตของความสัมพันธ์โดยละเว้นการเขียน ได้ เช่น

เมื่อพิจารณาค่าของ  และจากกราฟ จะได้ว่า
 และ 

คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกในโดเมนแต่ละตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของความสัมพันธ์เพียงตัวเดียวเท่านั้น

• นิยาม   ความสัมพันธ์ จากเซตไปยังเซตจะเรียกว่าฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ 

  2. ถ้าและแล้ว 

ตัวอย่างที่4
กำหนดให้และ พิจารณาความสัมพันธ์จากเซตไปยังเซตต่อไปนี้ว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่

1)   
ความสัมพันธ์ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะและแต่ 

2) 
ความสัมพันธ์ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ 

กรณีที่ความสัมพันธ์เขียนในรูปแบบบอกเงื่อนไข การพิจารณาการจับคู่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับอาจทำได้ยาก ในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันอาจจะพิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์นั้นได้เช่นกัน โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน   หากไม่มีเส้นตรงใดตัดกราฟของความสัมพันธ์ที่กำหนดมากกว่า 1 จุด ความสัมพันธ์นั้นจะเป็นฟังก์ชัน

คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้

สมบัติของคู่อันดับ

1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d
3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d

หมายเหตุ :

การเท่ากันของคู่อันดับ หมายถึง (x1, y1) = (x2, y2) ก็ต่อเมื่อ

x1 = y1 และ x2 = y2 หรือก็คือ ตัวหน้า = ตัวหน้า, ตัวหลัง = ตัวหลัง

 

ผลคูณคาร์ทีเชียน

เป็นการกระทำกันระหว่างเซต 2 เซต โดยผลคูณคาร์ทีเชียนระหว่างเซต A และ B เขียนแทนด้วย A×B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B เขียนอยู่ในรูปแบบ

A×B = {(a,b) | a ∈ A และ b ∈ B}

 

สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน

ให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ และ n(A) คือ จำนวนสมาชิกของเซต A

• A×{} = {}
• {}×A = {}
• A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
• A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
• A×(B-C) = (A×B) – (A×C)
• n(A×B) = n(A).n(B)

ความสัมพันธ์จาก A ไป B ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ AB เขียนได้ว่า r = {(a,b) | (a,b) ∈ A×B}

 

กราฟของความสัมพันธ์

ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง เช่น

ให้ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

B = {5, 6, 7, …, 20}

โดย r = {(x, y) ∈ A×B | y = 3x}

แจกแจงสมาชิกได้เป็น r = {(2, 6), (3, 9), (4, 12), (5, 15)}

กราฟที่ได้จะเป็น

สำหรับกรณีที่ r เป็นความสัมพันธ์ของจำนวนจริง มักจะวาดกราฟได้เป็นเส้น ยกตัวอย่างเช่น

r = {(x, y) ∈ R×R | y = 3x}

กราฟที่ได้ คือ

อินเวอร์สของความสัมพันธ์ คืออะไร

อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r-1

 

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ คืออะไร

โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์ r โดเมนของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Dr

Dr = {x | (x, y) ∈ r}

เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์ r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Rr

Rr = {y | (x, y) ∈ r}

 

ฟังก์ชัน คืออะไร

คือ ความสัมพันธ์รูปแบบหนึ่งที่สมาชิกในโดเมนแต่ละตัวจับคู่กับ สมาชิกในเรนจ์ของความสัมพันธ์ เพียงตัวเดียวเท่านั้น เช่น

{(1,a), (2,b), (3,c), (4,d)} เป็นฟังก์ชัน

{(1,a), (2,a), (3,a), (4,a)} เป็นฟังก์ชัน

{(1,a), (1,b), (3,c), (4,d)} ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะมี 1 ที่จับคู่กับทั้ง a และ b

 

การนิยามฟังก์ชัน

ถ้า f เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) ∈ f จะได้ว่า y เป็นค่าของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วย f(x) หรือ y = f(x) เรียก f(x) = (ค่าในเทอมของ x) ว่า นิยามของฟังก์ชัน

 

รูปแบบของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันจาก A ไป B
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B เขียนแทนด้วย f:A→B
หมายความว่า ทุกสมาชิกใน A ต้องมีคู่กับสมาชิกใน B

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนด้วย f:A onto→ B
หมายความว่า ทุกสมาชิกใน A และ B ต้องมีคู่

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B เขียนแทนด้วย f:A 1-1→ B
หมายความว่า ทุกสมาชิกใน A ต้องมีคู่กับสมาชิกใน B และคู่ไม่ซ้ำ

 

วิธีการดูความสัมพันธ์ว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่

1. กรณีเป็นกราฟ ให้ลากเส้นตรงให้ขนานกับแกน y หากมีเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่ง ตัดกราฟเกิน 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน
2. เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ในรูปสมการ โดยการพิจารณาจากตัวแปร y ถ้าตัวแปร y อยู่ในรูปที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มคู่หรืออยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์ ให้พิจารณาไว้ก่อนว่าความสัมพันธ์นั้นไม่ควรเป็นฟังก์ชัน
3. รวจสอบโดยใช้หลักการกำหนดดูอันดับ 2 ดูใดๆ ที่ตัวหน้าซ้ำกัน แต่ตัวหลังต่างกัน หากสรุปได้ว่าตัวหลัง
   เท่ากัน ดวามสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชัน ดังนี้ ให้ (a, b) ∈ I และ (a, c) ∈ I ถ้า b = c ก็สรุปได้ว่าเป็นฟังก็ชัน 

 

ฟังก์ชันผกผันหรือฟังก์ชันอินเวอร์ส

ให้ f เป็นฟังก์ชันใด ๆ อินเวอร์สของฟังก์ชัน f เขียนแทนด้วย f-1

ถ้า f-1 เป็นฟังก์ชัน จะเรียก f-1 นี้ว่า ฟังก์ชันอินเวอร์ส ถ้า f-1 เป็นฟังก์ชันของ x จะเขียนได้ว่า f-1 (x) โดยวิธีหา f-1 จะเหมือนกับการหา r-1 (ความสัมพันธ์อินเวอร์ส) โดย

• f-1อาจไม่เป็นฟังก์ชัน
• f-1จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
• ถ้า f-1 เป็นฟังก์ชันแล้ว f(a) = b จะได้ว่า f-1 (b) = a

 

ตัวอย่างข้อสอบเรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

1. กำหนด f(x) = |x-10| + 4 โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันนี้คือข้อใด

ก. Df = R, Rf = (-∞, 4] ข. Df = R, Rf = [4, ∞)
ค. Df = [10, ∞), Rf = (-∞, 4] ง. Df = [10, ∞), Rf = [4, ∞)

 

2. กำหนด f(x) = 2×2 + x – 1 จงหาค่าของ f(0) + f(f(f(1)))

ก. 73
ข. 169
ค. 278
ง. 729

 

3. ข้อใดเป็นฟังก์ชัน

ก. {(0,-1),(0,2),(0,3),(0,5)}
ข. {(-1,0),(0,2),(3,7),(3,9)}
ค. {(1,2),(2,6),(3,-4),(4,0)}
ง. {(2,6),(0,-2),(2,4),(-3,6)}

 

4.ค่าของ a ที่ทำให้กราฟของฟังก์ชัน y = a(2x) ผ่านจุด (3, 16) คือข้อใดต่อไปนี้

ก. 2
ข. 3
ค. 4
ง. 5

 

5. กำหนดให้ A = {1, 2} และ B = {a, b} คู่อันดับใดต่อไปนี้เป็นสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเชียน A x B

ก. (2, b)
ข. (b, a)
ค. (a, 1)
ง. (1, 2)

คณิต ม. ปลาย ต้องเรียนเรื่องอะไรบ้าง

การเรียนคณิตศาสตร์ในระดับม.ปลาย ตั้งแต่คณิต ม.4 คณิต ม.5 หรือ คณิต ม.6 นอกจากเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชันที่จะต้องเจอแล้ว การเรียนวิชา คณิต ม.ปลาย ยังครอบคลุมไปถึงเรื่องอื่นๆ ด้วย ไม่ว่าจะเป็นเรื่องกำหนดการเชิงเส้น, แคลคูลัส, ลำดับและอนุกรม, สถิติ,  ความน่าจะเป็น, จำนวนเชิงซ้อน, เวกเตอร์, ตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม, เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย, เมทริกซ์, ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น, จำนวนจริง, การให้เหตุผล, ตรรกศาสตร์, เซต และอื่น ๆ ดังนั้นใครที่กำลังเตรียมตัวจะเลือกเรียนสายวิทย์ สายที่เน้นคำนวณ หรือกำลังเรียนสายเหล่านี้อยู่ ก็จะต้องเจอกับการเรียนเรื่องต่าง ๆ เหล่านี้อย่างแน่นอน

 

คอร์สเรียน Private ตัวต่อตัว

เป็นคอร์สเรียนที่ผู้เรียนสามารถออกแบบการเรียนให้เหมาะกับตัวเองได้เป็นอย่างดี ไม่ว่าจะเรียนเพื่อติวสอบปลายภาค, ติวเพิ่มเกรด, กวดวิชาเข้ามหาวิทยาลัย ก็สามารถเลือกได้ตามแบบที่เราต้องการได้ด้วยหลักสูตรจำนวน 10 ชม. แต่หากใครที่พื้นฐานอ่อนหรืออยากมาเรียนเนื้อหาล่วงหน้าก็สามารถเพิ่มชั่วโมงเรียนให้เหมาะสมกับเราได้

สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับเรียกว่าอะไร

ในคณิตศาสตร์ คู่อันดับ (a, b) เป็นคู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ โดย a เรียกว่า สมาชิกตัวหน้า และ b เรียกว่า สมาชิกตัวหลัง คู่อันดับอาจจะมองเป็นพิกัดก็ได้ สำหรับคู่อันดับนั้น อันดับมีความสำคัญ นั่นคือคู่อันดับ (a, b) แตกต่างจากคู่อันดับ (b, a) ยกเว้นกรณีที่ a = b ลักษณะนี้ไม่เหมือนกับคู่ไม่อันดับ ซึ่งคู่ไม่อันดับ {a, b} ...

สมาชิกตัวหน้าเเละสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับเเทนอะไร

สมาชิกตัวหน้า ของคู่อันดับ คือ จำนวนที่อยู่บนแกน x. สมาชิกตัวหลัง ของคู่อันดับ คือ จำนวนที่อยู่บนแกน y. ตัวอย่างที่ 1.

เลขคู่อันดับคืออะไร

คู่อันดับ (Ordered pairs) หมายถึง การเป็นคู่และการมี ลาดับ (,) เช่น (1, –1) (2, –2) (3, –3) (4, –4) (5, –5) บทนิยาม คู่อันดับ a , b เขียนแทนด้วย ( ) a, b และจะเรียก a ว่า สมาชิกตัวหน้า และจะเรียก b ว่า สมาชิกตัวหลัง

คู่อันดับแทนสิ่งใด

คู่อันดับ ( Ordered Pairs ) คือ สัญลักษณ์ที่แสดงการจับคู่กันระหว่างสิ่ง 2 สิ่ง เช่น ระยะทางกับเวลา ถ้าเราจะแสดงการจับคู่ระยะทาง (กิโลเมตร) กับเวลา (ชั่วโมง) เราจะเขียนระยะทางกับเวลาลงในวงเล็บเล็ก และคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น (200, 4) จะหมายถึงระยะทาง 200 กิโลเมตร ต้องใช้เวลา 4 ชั่วโมง เป็นต้น ... .

ตัวอย่างของคู่อันดับ.