การ หา ค า sin cos tan โดยใช ม อ

ไปได้ก็จะเจอตรีโกณอีกครั้งในชั้นม.ปลาย เพื่อเตรียมตัวสู่การเรียนในระดับมหาวิทยาลัย โดยเฉพาะคณะสถาปัตยกรรมศาสตร์, วิศวกรรมศาสตร์ ที่ต้องใช้การคำนวณเป็นหลัก

ตรีโกณมิติมีรากศัพท์มาจากภาษากรีกคำว่า trigonon ซึ่งเป็นเรื่องของการวัดมุมสามเหลี่ยมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเชื่อว่ามีมายาวนานกว่า 2000 ปีก่อนคริสตศักราช แบ่งเชือกออกเป็น 12 ส่วนเท่า ๆ กัน แล้วทำปมตรงจุดที่แบ่ง ก่อนที่จะดึงเป็นรูปสามเหลี่ยมในอัตราส่วนของด้าน 3:4:5 โดยที่มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านยาวสุดจะเป็นมุมฉากเสมอ จนก่อให้เกิดเป็นทฤษฎีและสมการพีทาโกรัสขึ้นมา

c2\=a2+b2

โดยที่

• a แทนความยาวตรงข้ามมุม A
• b แทนความยาวตรงข้ามมุม B
• c แทนความยาวตรงข้ามมุม C
• และด้าน AB เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ด้าน AC และ BC คือด้านประกอบมุมฉาก

*ข้อควรระวังการนำสมการและทฤษฎีพีทาโกรัสไปใช้ จะต้องเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

ในขณะที่อัตราส่วน ตรีโกณมิติ คือ อัตราส่วนที่เกี่ยวกับด้านและมุมของสามเหลี่ยม โดยผลรวมของมุมทุกมุมจะต้องเท่ากับ 180 องศาเสมอ หากสามเหลี่ยมมีการกำหนดขนาดด้านมาให้เพียงด้านเดียวและกำหนดมุมมาให้ 1 มุมก็สามารถที่จะนำฟังก์ชันตรีโกณมิติมาหาด้านที่เหลือตามทฤษฎีพีทาโกรัสได้

โดยที่ ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากจะมีความยาวมากที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ c

ด้านตรงข้าม คือ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่สนใจ ในที่นี้คือ a

ด้านประชิด คือ ด้านที่อยู่ติดกับมุมที่สนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b

จากนิยามดังกล่าวสามารถเขียนออกมาเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ทั้งหมด 6 แบบ ได้แก่

1. Sine คือ อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม จากรูปคือ a/c
2. Cosine หรือ cos คือ อัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม จากรูปคือ b/c
3. Tangent หรือ tan คือ อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิดของสามเหลี่ยม จากรูปคือ a/b
4. Cosecant หรือ cosec คือ อัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากกับอัตราส่วนของด้านตรงข้าม จากรูปคือ c/a
5. Secant หรือ sec คือ อัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านประชิด จากรูปคือ c/b
6. Cotangent หรือ cot คือ อัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้าม จากรูปคือ b/a

จากความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถนำมาเป็นเคล็ดลับในการจำสูตรตรีโกณมิติง่าย ๆ ดังนี้

• Sine = ข้าม/ฉาก ส่วนกลับคือ Cosec = ฉาก/ข้าม
• Cos = ชิด/ฉาก ส่วนกลับคือ Sec = ฉาก/ชิด
• Tan = ข้าม/ชิด ส่วนกลับคือ Cot = ชิด/ข้าม

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมจะมีมุมภายในรวมกันเท่ากับ 180 องศา โดยจะมีมุมหลัก ๆ ที่นำมาใช้งานอยู่บ่อยครั้ง ได้แก่ มุม 30องศา, 45 องศา, 60 องศาและ 90 องศา ซึ่งมีเทคนิคและวิธีในการจำค่า sin cos tan ของมุมเหล่านี้ง่าย ๆ ที่สามารถนำไปใช้ได้เลยโดยไม่ต้องคำนวนให้ยุ่งยาก

แบบที่ 1 วาดรูป สามเหลี่ยมด้านเท่า (มุมทุกมุมมีค่าเท่ากับ 60 องศา) และด้านทุกด้านมีค่าเท่ากับ 1 หน่วย

ลากเส้นตรงจากยอดมายังฐานสามเหลี่ยมโดยจะต้องตั้งฉากกันตามรูป จะทำให้ได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูปที่มีขนาดเท่ากัน

จากรูปเมื่อนำมาหาค่า sin cos tan ของมุม 30 องศาและ 60 องศา จะได้ดังนี้

จะเห็นว่าค่า Sine 30 จะมีค่าเท่ากับ Cos 60 และ Cos 30 จะมีค่าเท่ากับ Sine 60

สำหรับวิธีการจำ sin cos tan ของมุม 45 องศา จะง่ายมากกว่า เพราะภายในสามเหลี่ยมจะมีมุม 45 องศาด้วยกัน 2 มุมและมุม 90 องศา 1 มุม สามารถแทนค่าตามรูปได้ดังนี้

จากมุมของสามเหลี่ยมทั้ง 3 มุมดังกล่าวสามารถนำมาเขียนเป็นตารางเพื่อให้ง่ายแก่การจดจำดังนี้

แบบที่ 2 เทคนิคการหาค่า sin cos tan ด้วยมือซ้าย

หากการจดจำตารางตรีโกณมิติ อาจทำให้ใครหลายคนสับสนและงุนงงกับตัวเลข ยังมีอีกเทคนิคหนึ่งที่สามารถช่วยให้เข้าใจและหาค่าตัวเลขตรีโกณมิติได้ นั่นคือการใช้มือซ้ายของเรานั่นเอง

วิธีการใช้งานมือซ้ายของเราเองเพื่อหาค่า ตรีโกณมิติ คือ จะต้องแทนค่ามุมลงไปในแต่ละนิ้วมือดังนี้

• นิ้วโป้ง = 0 องศา
• นิ้วชี้ = 30 องศา
• นิ้วกลาง = 45 องศา
• นิ้วนาง = 60 องศา
• นิ้วก้อย = 90 องศา
• และฝ่ามือมีค่าเท่ากับ ?2\tfrac{\sqrt{?}}{2}
• หากต้องการหาค่า Sin 30 ให้พับนิ้วชี้ลงมา ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 นิ้ว แทนค่าลงไปใน ช่วงว่างบนฝ่ามือ ซึ่ง 12\tfrac{\sqrt{1}}{2} root 1 มีค่าเท่ากับ 1 ก็จะมีค่าเท่ากับ 12\tfrac{1}{2}
• หากต้องการหาค่า Cos 30 ให้ดูนิ้วที่เหลือด้านขวาหลังจากพับนิ้วชี้ว่าเหลือนิ้วเท่าไร ซึ่งเหลือด้วยกัน 3 นิ้ว นำมาใส่ในช่องว่างบนฝ่ามือ จะได้ 32\tfrac{\sqrt{3}}{2}
• หากต้องการหาค่า Sin 45 ให้พับนิ้วกลางลงมา จากนั้นนับนิ้วฝั่งขวาเหลือนิ้วเท่าไร นำไปแทนค่าในช่วงว่างบนฝ่ามือจะได้ 22\tfrac{\sqrt{2}}{2}
• ในขณะที่ Cos 45 จะมีค่าเท่ากันกับ Sin 45
• หากต้องการหาค่า Sin 60 ให้พับนิ้วนางลงมา จากนั้นนับนิ้วฝั่งซ้ายเหลือนิ้วเท่าไร แทนค่าลงไปในช่วงว่างบนฝ่ามือ 32\tfrac{\sqrt{3}}{2}
• หากต้องการหาค่า Cos 60 ให้พับนิ้วนางลงมา จากนั้นนับนิ้วฝั่งขวาเหลือนิ้วเท่าไร แทนค่าลงไปในช่วงว่างบนฝ่ามือ 12\tfrac{\sqrt{1}}{2} ซึ่ง root 1 มีค่าเท่ากับ 1 ก็จะมีค่าเท่ากับ 12\tfrac{1}{2}
• หากต้องการหาค่าTan 30 เพียงนำค่าSin30/Cos30 ก็จะได้ค่าTan 30 = 1232=13\tfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}
• หากต้องการหาค่า Tan60 เพียงนำค่า Sin60/Cos60 ก็จะได้ค่า Tan 60 = 3212=3\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}={\sqrt{3}}

ความสัมพันธ์ของอัตราส่วน ตรีโกณมิติ สูตร ที่ควรจดจำและนำไปใช้ในแบบฝึกหัดได้บ่อย

แม้วิชาคณิตศาสตร์ ตรีโกณมิติ ม.3 อาจทำเอาหลายคนปวดหัวไปกับสูตรและตัวเลขต่าง ๆ แต่ถ้าได้ฝึกฝนและเข้าใจถึงวิธีคิด ก็จะ สามารถแก้ไขโจทย์ที่อยู่ตรงหน้าได้อย่างไม่ยากเย็น หากเข้าใจกฎและเงื่อนไขต่าง ๆ ได้ดี ก็จะช่วยให้การทำโจทย์คณิตศาสตร์เป็นไปอย่างราบรื่นและสนุกกับการเรียน