เส้นตรง มีสมการรูปแบบทั่วไปคือ Ax + By + C = 0 และสมการรูปแบบมาตรฐานของเส้นตรงจะเขียนอยู่ในรูป y = mx + C ซึ่งจะอยู่ในหัวข้อ “สมการเส้นตรง” เส้นตรงหนึ่งเส้นประกอบไปด้วยจุดหลายจุด ซึ่งจุดเหล่านี้จะทำให้เราสามารถหาความชันได้ และเมื่อเราทราบความชันก็จะสามารถหาสมการเส้นตรงได้นั่นเอง Show ความชันของเส้นตรงความชันของเส้นตรง ส่วนใหญ่นิยมใช้ m แทนความชัน การหาความชันนั้นเราจะต้องรู้จุดบนเส้นตรงอย่างน้อย 2 จุด สมมติ ให้สองจุดนั้นเป็น (x1,y1) และ (x2,y2) เป็นจุดบนเส้นตรง L ดังรูป จะได้ว่า ความชันของเส้นตรง L หาได้จาก ความชันของเส้นตรง (Slope : m) m = (y2 – y1) / (x2 – x1) ความชันของเส้นตรง (Slope : m)คือ อัตราส่วนระหว่างค่า y ที่เปลี่ยนแปลงไป ต่อค่า x ที่เปลี่ยนแปลงไป ใช้ สัญลักษณ์ m โดยค่า m อาจะเป็นบวก หรือลบ หรือเป็นศูนย์ก็ได้ สูตรภาคตัดกรวย สำหรับระดับมัธยมปลาย จะว่าด้วยการหาความสัมพันธ์ของเส้น และ จุด รวมถึงสมการของ วงกลม วงรี พาราโบลา และ ไฮเพอร์โบลา ซึ่งจะเป็นเนื้อหาโดยสรุปเท่านั้น สามารถอ่านรายละเอียดและตัวอย่างเพิ่มเติมได้ เพื่อความเข้าใจในเรื่อง ภาคตัดกรวย มากยิ่งขึ้น ความสัมพันธ์ระหว่างจุดและเส้น
ภาคตัดกรวย วงกลม
ภาคตัดกรวย พาราโบลาภาคตัดกรวย วงรีภาคตัดกรวย ไฮเพอร์โบลาเนื้อหาอื่นๆRead More Author: Tuenong Admin Filed Under: คณิตศาสตร์, สรุปสูตร แล้วเราก็เดินทางมาสู่บทที่ 3 ของการสรุปเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ ม. 4 เทอม 2 “เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย” เป็นบทสุดท้ายของการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ในเทอม 2 ในบทนี้น้องๆได้สนุกกับการเรียนรู้วิชาเลขที่มี “ภาพของกราฟ” อันหลากหลายให้น้องๆได้สนุกกับการทำโจทย์ครับ จากสถิติที่ผ่านมา การออกข้อสอบเข้าระดับมหาวิทยาลัย TCAS เนื้อหาในส่วนนี้ก็มักจะปรากฏให้เห็นอยู่ประมาณ 3 ข้อเป็นประจำ ทั้งใน PAT1 และ 9 วิชาสามัญ แสดงให้เห็นว่า คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 เรื่อง “เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย” นั้นมีความสำคัญไม่แพ้บทอื่นๆ น้องๆควรจะต้องทำความเข้าใจเนื้อหา และพื้นฐานของบทนี้ให้แน่น เพื่อพร้อมรับมือในการทำข้อสอบ และคว้าคะแนนจากบทนี้มาให้ได้ และน้องๆที่มีความสนใจในเรื่องรูป การวาดกราฟ และความเชื่อมโยงของสมการ และรูปกราฟ น่าจะเป็นอีกบทที่เรียนก็สนุก และทำโจทย์ก็ได้เชาว์ปัญญาไปด้วย สร้างทักษะให้กับน้องๆในการอ่านกราฟมากยิ่งขึ้นด้วยครับผม เนื้อหาหลักของบทนี้ประกอบด้วย รายละเอียดบทย่อย ดังนี้
เรขาคณิตวิเคราะห์บทนี้จะศึกษาเกี่ยวกับจุดและรูปทรงต่าง ๆ ใน 2 มิติ โดยเริ่มจาก ระยะห่างระหว่างจุด ให้จุด (x1, y1) และ (x2, y2) อยู่บนระนาบ x – y ดังรูป ระยะห่างระหว่างจุด (x1, y1) และ (x2, y2) จะหาได้จากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ได้ว่า ข้อสังเกต
ตัวอย่างโจทย์ จงหาระยะห่างระหว่าจุด (1,2) และ (4,6) เฉลย จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด ถ้าจุด (x, y) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด (x1, y1) และ (x2, y2) ดังรูป แสดงว่า x เป็นค่ากึ่งกลางของ x1 และ x2 และ y เป็นค่ากึ่งกลางของ y1 และ y2 จะได้ว่า ความชันของเส้นตรง ข้อสังเกต
ตัวอย่างโจทย์ จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านสองจุดต่อไปนี้ (-7, -3) และ (-13, -6) เฉลย เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก
ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรง ให้ (x, y) เป็นจุดใด ๆ บนเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน y และลากผ่านจุด (x1, y1) และ (x2, y2) ถ้าให้เส้นตรงที่มีความชัน m ตัดแกน y ที่จุด (0, c) จะมีสมการเส้นตรง คือ y = mx + c เรียก c ว่าระยะตัดแกน y 0 = mx+c ดังนั้น จุดตัดแกน x คือ ((-c/m), 0)
โจทย์ตัวอย่าง จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ -7 และผ่านจุด (0, -5) เฉลย ภาคตัดกรวยบทนี้จะเรียนเกี่ยวกับรูปร่างต่าง ๆ ที่เกิดจากการตัดทรงกรวยด้วยระนาบหนึ่ง โดยการตัดทำมุมต่าง ๆ กัน จะทำให้ได้รอยเฉือนรูปร่างต่าง ๆ ได้แก่ วงกลม, วงรี, พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา ซึ่งคุณสมบัติของรูปร่างต่าง ๆ เหล่านี้ สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้ โดยเฉพาะในทางวิทยาศาสตร์ และดาราศาสตร์ วงกลม สมการวงกลม กลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) และมีรัศมียาว r หน่วย จะมีสมการ คือ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 แต่สมการวงกลมสามารถเขียนได้อีกแบบดังนี้ จาก (x-h)2 + (y-k)2 = r2 จะได้ x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + y2 = r2 x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + y2 – r2 = 0 ให้ A = -2h, B = -2k, C = h2 + k2 – r2 จะได้รูปทั่วไปของสมการวงกลม คือ x2 + y2 + Ax + By + C = 0 วงรี F1P1 + F2P1 = k = F1P2 + F2P2 ส่วนประกอบของวงรี กราฟวงรีที่จะศึกษาในตอนนี้มี 2 แบบ ดังนี้ ส่วนประกอบของวงรี มีดังนี้
2. แกนเอก (จากรูปคือเส้นตรง V1,V2) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนวงรี และลากผ่านจุดโฟกัสทั้งสองจุด กำหนดให้ แกนเอกยาว 2a หน่วย 3. จุดยอดของวงรี (จากรูปคือจุด V1 และ V2) คือ จุดปลายของแกนเอก
4. แกนโท (จากรูปคือเส้นตรง B1B2) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนวงรี โดยตั้งฉากกับแกนเอก 5. เส้นเลตัสเรกตัม (Latus Rectum) (คือ เส้นประทั้งสองเส้น ในรูปวงรีแนวนอน และวงรีแนวตั้ง) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย อยู่บนวงรี(คอร์ดของวงรี) โดยตั้งฉากกับแกนเอก และผ่านจุดโฟกัส 6. ค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรี (e) คือ ค่าที่บอกความรีของวงรี โดย e = c/a
สมการวงรี โจทย์ตัวอย่าง วงรีที่มีสมการเป็น (x+1)2⁄25 + (y+2)2⁄16 = 1
พาราโบลา กราฟพาราโบลาที่จะศึกษามี 4 แบบ ดังนี้ ส่วนประกอบของพาราโบลา มีดังนี้ 2. แกนสมมาตร คือ เส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นไดเรกตริกซ์ และผ่านจุดโฟกัส และจะผ่านจุดยอดด้วย แกนสมมาตรจะแบ่งกราฟพาราโบลาออกเป็น 2 ส่วนที่สมมาตรกัน 3. เส้นเลตัสเรกตัม (จากรูปคือ เส้นประ) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนพาราโบลา และลากผ่านจุดโฟกัส และขนานกับเส้นไดเรกตริกซ์ เส้นเลตัสเรกตัมยาวเท่ากับ 4a ตารางแสดงส่วนประกอบของพาราโบลา ลักษณะกราฟจุดโฟกัสสมการเส้นไดเรกตริกซ์สมการแกนสมมาตรจุดปลายของเส้นเลตัสเรกตัมหงาย(h, k + a)y = k – ax = h(h 2a, k + a)คว่ำ(h, k – a)y = k + ax = h(h 2a, k – a)ตะแคงขวา(h + a, k)x = h – ay = k(h + a, k 2a)ตะแคงซ้าย(h – a, k)x = h + ay = k(h – a, k 2a)สมการของพาราโบลา
โจทย์ตัวอย่าง จงบอกลักษณะกราฟ จุดยอด จุดโฟกัส เส้นไดเรกตริกซ์ แกนสมมาตร ความยาวของเส้นเลตัสเรกตัม และจุดปลายของเส้นเลตัสเรกตัมของพาราโบลาที่มีสมการเป็น y2 = -4x – 4 เฉลย คุยกันท้ายบทและนี้ก็คือทั้งหมดของ “เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย” น้องๆที่อ่านมาจนถึงตรงนี้คงจะเห็นได้ว่าเนื้อหาของคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 ทุกๆบทมีความเชื่อมโยงและเป็นพื้นฐานให้กันและกัน ซึ่งถ้าน้องไม่สามารถเข้าใจในพื้นฐานของแต่ละบทก็จะสร้างปัญหาให้แก่บทอื่นๆต่อเนื่องกัน ดังนั้นน้องๆทุกคนควรจะเข้าใจพื้นฐานในทุกๆบทเรียน เพื่อไม่ให้เกิดปัญหาในเวลาการทำข้อสอบ และอีกสิ่งที่สำคัญก็คือ การทำโจทย์ให้มากๆ จากตัวอย่างที่นอตยกมาให้น้องๆนั้นเป็นส่วนหนึ่งของโจทย์ที่สามารถพบเห็นได้ทั่วไป แต่ถ้าหากใครอยากลองเจอโจทย์ที่ท้าทายมากกว่านี้ พี่นอตอยากให้น้องๆลองเข้ามาเรียนคอร์ส คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 จากทาง Panya Society พี่นอตรับรองได้เลยว่ามีตัวอย่างโจทย์ที่ท้าทายมากกว่านี้แน่นอน สุดท้ายนี้พี่นอตหวังว่า น้องๆจะสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 ไปตลอดทั้งเทอม ขอให้น้องๆประสบความสำเร็จในการเรียน ได้เกรดดังหวัง คะแนนปังทุกคนเลยครับ แล้วพบกันใหม่ ในบทความชุดต่อไปของพี่นอตนะครับ… PREVIOUS NEXT บทความคณิตศาสตร์อื่นๆดร.ธรรมนิติ์ พิพัฒน์ศรีสวัสดิ์
|